Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Die TESe R 3 und R 4 aus Bsp. 3.3.7 und das TES aus Bsp. 3.3.13 (c) machen aber
bereits deutlich, dass die Terminierung alleine noch nicht ausreicht, um unser skizziertes
Termersetzungsverfahren für die Lösung des Wortproblems zu verwenden. Das TES {b →
c,b → a} terminiert. Wenn man untersuchen möchte, ob in der zugrunde liegenden Menge
von Gleichungen E die Aussage a ≡ E c gilt, so würde man nun die Normalformen von a und
c berechnen. Es gilt a↓ R = a und c↓ R = c. Da die beiden resultierenden Terme aber nicht
identisch sind, würde man nun fälschlicherweise schließen, dass a ≢ E c gilt.
Das Problem hierbei ist, dass wir zur Untersuchung der Frage s ≡ E t eigentlich untersuchen
müssten, ob s ↔ ∗ R t gilt. In Wirklichkeit untersuchen wir jedoch nur, ob es einen Term
q gibt, so dass s → ∗ R q ←∗ R t gilt. Man bezeichnet solche Terme dann als zusammenführbar
(engl. joinable). Im allgemeinen folgt zwar aus der Zusammenführbarkeit von s und t, dass
s ↔ ∗ R t gilt, aber die Umkehrung gilt nicht. Dies wird an dem TES R = {b → c,b → a}
deutlich, bei dem a ↔ ∗ R c gilt, obwohl die beiden Terme nicht zusammenführbar sind. Wir
müssen uns also auf TESe beschränken, bei denen die Ersetzungsrelation → R diese Eigenschaft
hat, die man allgemein für Relationen formulieren kann. Sie geht auf Church und
Rosser zurück, die diese Eigenschaft für den Lambda-Kalkül untersuchten und bewiesen,
vgl. [CR36, Gie05].
Definition 3.3.14 (Zusammenführbarkeit, Church-Rosser Eigenschaft) Sei → eine
Relation auf einer Menge M. Zwei Elemente s,t ∈ M sind zusammenführbar (Schreibweise
s ↓ t) gdw. es ein q ∈ M gibt mit s → ∗ q ← ∗ t.
Die Relation → hat die Church-Rosser Eigenschaft gdw. für alle s,t ∈ M gilt: Falls
s ↔ ∗ t, dann sind s und t zusammenführbar, d.h., s ↓ t.
Man sagt, ein TES R hat die Church-Rosser Eigenschaft gdw. seine Ersetzungsrelation
→ R die Church-Rosser Eigenschaft hat.
Beispiel 3.3.15 Das TES R = {b → c,b → a} aus Bsp. 3.3.13 (c) besitzt die Church-
Rosser Eigenschaft nicht. So gilt zwar a ↔ ∗ R c, denn a ← R b → R c, aber a und c sind nicht
zusammenführbar, denn beide sind Normalformen.
Das TES mit den Regeln (3.1) und (3.2) für die Addition besitzt hingegen die Church-
Rosser Eigenschaft. Es gilt z.B. plus(succ(succ(O)),x) ↔ ∗ R plus(succ(O),succ(x)) und in der
Tat sind die beiden Terme zusammenführbar (vgl. Bsp. 3.3.6).
Um TESe besser auf die Church-Rosser Eigenschaft untersuchen zu können, empfiehlt
es sich, stattdessen die Eigenschaft der Konfluenz zu betrachten, die zur Church-Rosser Eigenschaft
äquivalent ist. Auf einen Term p sind oftmehrere Auswertungsschritte anwendbar
(d.h. wir haben eine Relation →, bei der p → ∗ s und p → ∗ t für geeignete Objekte s,t,p
gilt). Eine Relation → heißt konfluent, wenn es unerheblich ist, welchen der beiden Schritte
man ausführt. Genauer bedeutet Konfluenz, dass sich die beiden “alternativen” Objekte
s und t wieder zusammenführen lassen. Man kann dies durch folgendes Bild illustrieren:
Wenn die durchgezogenen Pfeile existieren, folgtdarausdie Existenz der gestrichelten Pfeile