Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

(b) Das TES R = {b → a,b → b} ist nicht terminierend, aber eindeutig normalisierend,
d.h., hier hat jeder Term genau eine Normalform. Es gilt z.B. b↓ R = a.
(c) Das TES {b → c,b → a} terminiert, aber es gibt Terme mit mehreren Normalformen.
So hat b sowohl die Normalform a als auch die Normalform c.
(d) Das TES {c → b,a → b} terminiert und jeder Term hat genau eine Normalform. Dies
sind die Arten von TESen, die wir im Folgenden zu konstruieren versuchen.
Man erkennt auch, dass die beiden Variablenbedingungen V(r) ⊆ V(l) und l ∉ V für
alle Regeln l → r ∈ R notwendig sind, um terminierende TESe zu erhalten. Der Grund ist,
dass man bei einer Variable x ∈ V(r)\V(l) mit r| π = x die folgende unendliche Reduktion
bilden könnte, wobei σ = {x/l} ist:
l → rσ = rσ[l] π → rσ[rσ] π = rσ[rσ[l] π ] π → rσ[rσ[rσ] π ] π = ...
Analog würde man bei einer Regel x → r die folgende Reduktion erhalten, wobei σ 1 =
{x/r}, σ 2 = {x/rσ 1 }, etc.:
x → r → rσ 1 → rσ 2 → ...
Betrachten wir nun noch einmal unsere früheren Beispiele. In Bsp. 3.3.6 haben wir
zur Untersuchung der Frage plus(succ(succ(O)),x) ≡ E plus(succ(O),succ(x)) zunächst die
Normalformen der beiden Terme plus(succ(succ(O)),x) und plus(succ(O),succ(x)) gebildet.
Anschließend haben wir überprüft, ob diese beiden Normalformen identisch waren. In diesem
Beispiel war das der Fall, da beide Terme nur eine Normalform, nämlich succ(succ(x))
besitzen.
In Bsp. 3.3.7 hatten wir hingegen ein nicht-terminierendes TES R 1 = {b → c,b →
a,f(a) → f(f(a))}. Bei der Untersuchung von f(a) ≡ E f(c) wollten wir ebenfalls Normalformen
von f(a) und f(c) berechnen. Da f(a) aber keine Normalformen besitzt, scheitert dieser
Ansatz. Das TES R 2 = {b → c,b → a,f(a) → f(f(b))} ist im Gegensatz zu R 1 wenigstens
normalisierend, aber ebenfalls nicht terminierend. Hier besitzt f(a) zwar Normalformen
f 2 (c),f 3 (c),..., aber da R nicht terminiert, kann es passieren, dass die Reduktion von f(a)
unendlich weiterläuft, ohne eine Normalform zu finden.
Die Terminierung stellt also sicher, dass wir beliebig reduzieren können und stets nach
endlich vielen Schritten eine Normalform erhalten. Dies ist daher eine der Voraussetzungen,
die wir benötigen, um TESe zur Lösung des Wortproblems zu verwenden. Man braucht die
Terminierung auch, um zu untersuchen, ob ein TES eindeutige Normalformen hat, wie man
in Kapitel 5 sehen wird. Darüber hinaus ist die Frage der Terminierung natürlich auch
in anderen Bereichen überaus wichtig. Beispielsweise möchte man bei der Programmverifikation
untersuchen, ob ein Programm bei allen Eingaben stets nach endlicher Zeit anhält.
Die Terminierung ist darüber hinaus bei der automatisierten Programmverifikation wichtig,
um Induktionsbeweise über Programme durchführen zu können (vgl. [Gie03]). Schließlich
wird sich auch herausstellen, dass die Terminierung eine Voraussetzung für Vervollständigungsverfahren
ist, die unvollständige Programme automatisch ergänzen können (Kapitel
6). In Kapitel 4 werden wir daher Verfahren vorstellen, die die Terminierung von TESen
automatisch untersuchen.