Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Definition 3.3.10 (Normalform) Sei → eine Relation über einer Menge M. Ein Objekt
q ∈ M heißt Normalform gdw. es kein Objekt q ′ ∈ M mit q → q ′ gibt. Das Objekt q heißt
Normalform eines Objekts t gdw. t → ∗ q und q Normalform ist. Falls die Normalform von
t eindeutig ist, so bezeichnet t↓ die Normalform von t.
Die Relation → ist normalisierend, wenn es zu jedem Objekt t (mindestens) eine Normalform
gibt und → ist eindeutig normalisierend, wenn es zu jedem Objekt t genau eine
Normalform gibt.
Es ist leicht zu zeigen, dass aus der Fundiertheit die Normalisierung folgt, aber nicht
umgekehrt.
Lemma 3.3.11 (Fundiertheit impliziert Normalisierung)
ist normalisierend.
Jede fundierte Relation
Beweis. Sei → eine fundierte Relation über einer Menge M und sei t ∈ M. Wenn t keine
Normalform hätte, dann gäbe es eine unendliche Folge
t → t 1 → t 2 → ...
im Widerspruch zur Fundiertheit.
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Die Umkehrung von Lemma 3.3.11 gilt hingegen nicht. Fundiertheit verlangt, dass alle
absteigenden Folgen endlich sind. Normalisierung erfordert hingegen nur, dass es ausgehend
von jedem Element mindestens eine abbrechende absteigende Folge gibt. Insgesamt
gelten die folgenden Zusammenhänge (und alle anderen Zusammenhänge zwischen den drei
Begriffen in dem Schaubild gelten nicht):
fundiert ◗
eindeutig normalisierend
◗◗◗◗◗◗◗◗◗◗◗◗ ✐✐✐✐✐✐✐✐✐✐✐✐✐✐✐✐
normalisierend
Bevor wir Beispiele für Relationen mit diesen drei Eigenschaften angeben, wollen wir definieren,
wie man diese Begriffe auch für TESe verwenden kann.
Definition 3.3.12 (Terminierung von TESen) Ein TES R terminiert gdw. seine Ersetzungsrelation
→ R fundiert ist. Ein TES R ist normalisierend gdw. → R normalisierend
ist, d.h., gdw. jeder Term eine Normalform bzgl. → R hat.
In einem terminierenden TES hat also jeder Term mindestens eine Normalform. Bei
jeder beliebigen Reduktion des Terms erreicht man nach endlich vielen Schritten eine solche
Normalform.
Beispiel 3.3.13
(a) Das TES {b → a,b → f(b)} ist normalisierend, aber weder eindeutig normalisierend
noch terminierend. Jeder Term hat nämlich Normalformen, wie man durch Induktion
über den Termaufbau leicht zeigen kann (z.B., indem man alle Vorkommen von b
durch a ersetzt). Der Term b hat z.B. die Normalformen a,f(a), etc. Hingegen gibt es
eine nicht-terminierende Reduktion b → f(b) → f(f(b)) → ....