Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...
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Definition 3.3.10 (Normalform) Sei → eine Relation über einer Menge M. Ein Objekt<br />
q ∈ M heißt Normalform gdw. es kein Objekt q ′ ∈ M mit q → q ′ gibt. Das Objekt q heißt<br />
Normalform eines Objekts t gdw. t → ∗ q <strong>und</strong> q Normalform ist. Falls die Normalform von<br />
t eindeutig ist, so bezeichnet t↓ die Normalform von t.<br />
Die Relation → ist normalisierend, wenn es zu jedem Objekt t (mindestens) eine Normalform<br />
gibt <strong>und</strong> → ist eindeutig normalisierend, wenn es zu jedem Objekt t genau eine<br />
Normalform gibt.<br />
Es ist leicht zu zeigen, dass aus der F<strong>und</strong>iertheit die Normalisierung folgt, aber nicht<br />
umgekehrt.<br />
Lemma 3.3.11 (F<strong>und</strong>iertheit impliziert Normalisierung)<br />
ist normalisierend.<br />
Jede f<strong>und</strong>ierte Relation<br />
Beweis. Sei → eine f<strong>und</strong>ierte Relation über einer Menge M <strong>und</strong> sei t ∈ M. Wenn t keine<br />
Normalform hätte, dann gäbe es eine unendliche Folge<br />
t → t 1 → t 2 → ...<br />
im Widerspruch zur F<strong>und</strong>iertheit.<br />
✷<br />
Die Umkehrung von Lemma 3.3.11 gilt hingegen nicht. F<strong>und</strong>iertheit verlangt, dass alle<br />
absteigenden Folgen endlich sind. Normalisierung erfordert hingegen nur, dass es ausgehend<br />
von jedem Element mindestens eine abbrechende absteigende Folge gibt. Insgesamt<br />
gelten die folgenden Zusammenhänge (<strong>und</strong> alle anderen Zusammenhänge zwischen den drei<br />
Begriffen in dem Schaubild gelten nicht):<br />
f<strong>und</strong>iert ◗<br />
eindeutig normalisierend<br />
◗◗◗◗◗◗◗◗◗◗◗◗ ✐✐✐✐✐✐✐✐✐✐✐✐✐✐✐✐<br />
normalisierend<br />
Bevor wir Beispiele für Relationen mit diesen drei Eigenschaften angeben, wollen wir definieren,<br />
wie man diese Begriffe auch für TESe verwenden kann.<br />
Definition 3.3.12 (Terminierung von TESen) Ein TES R terminiert gdw. seine Ersetzungsrelation<br />
→ R f<strong>und</strong>iert ist. Ein TES R ist normalisierend gdw. → R normalisierend<br />
ist, d.h., gdw. jeder Term eine Normalform bzgl. → R hat.<br />
In einem terminierenden TES hat also jeder Term mindestens eine Normalform. Bei<br />
jeder beliebigen Reduktion des Terms erreicht man nach endlich vielen Schritten eine solche<br />
Normalform.<br />
Beispiel 3.3.13<br />
(a) Das TES {b → a,b → f(b)} ist normalisierend, aber weder eindeutig normalisierend<br />
noch terminierend. Jeder Term hat nämlich Normalformen, wie man durch Induktion<br />
über den Termaufbau leicht zeigen kann (z.B., indem man alle Vorkommen von b<br />
durch a ersetzt). Der Term b hat z.B. die Normalformen a,f(a), etc. Hingegen gibt es<br />
eine nicht-terminierende Reduktion b → f(b) → f(f(b)) → ....