Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...
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Die Lösung für diese Probleme ist, nicht ein TES wie R 1 - R 4 zu verwenden, sondern<br />
z.B. das TES R = {c → b,a → b,f(f(b)) → f(b)} aus Bsp. 3.3.5. Dieses TES hat die<br />
Eigenschaft, dass jede Folge von R-Ersetzungsschritten terminiert <strong>und</strong> dass das Ergebnis<br />
der Reduktion eindeutig ist (d.h., es ist konfluent). Hier muss man f(a) <strong>und</strong> f(c) beide<br />
zu f(b) reduzieren <strong>und</strong> kann somit die Gleichheit von f(a) <strong>und</strong> f(c) nachweisen. Ebenso<br />
kann man f 2 (b) ≡ E f(a) nachweisen, da man beide Terme nur zu f(b) reduzieren kann, <strong>und</strong><br />
f 2 (b) ≡ E f(b) folgt, da f 2 (b) zu f(b) reduzierbar ist.<br />
Man erkennt also, dass es nicht immer sinnvoll ist, ein äquivalentes TES zu verwenden,<br />
das direkt durch Richten der ursprünglichen Gleichungen entsteht. Stattdessen sind andere<br />
äquivalente TESe oft geeigneter.<br />
UmdenerstenProblempunkt zuvermeiden, wollenwir dahersicher stellen, dasseskeine<br />
unendlichen Reduktionen mit der Relation→ R gibt. Im allgemeinen nennt man Relationen,<br />
die keine unendlich “absteigenden” Folgen von Elementen zulassen, f<strong>und</strong>iert. Dieser Begriff<br />
ist darüber hinaus sowohl für Beweise mit Induktion als auch für Terminierungsbeweise<br />
gr<strong>und</strong>legend.<br />
Definition 3.3.8 (F<strong>und</strong>ierte Relationen) Sei → eine Relation über einer Menge M.<br />
Die Relation → heißt f<strong>und</strong>iert gdw. es keine unendliche Folge t 0 ,t 1 ,t 2 ,... von Elementen<br />
aus M gibt mit t 0 → t 1 → t 2 → ...<br />
Beispiel 3.3.9<br />
• Die Relation > IN auf IN ist f<strong>und</strong>iert, wobei “> IN ” die übliche “größer als”-Relation<br />
auf den natürlichen Zahlen ist.<br />
• Die echte Teiltermrelation ✄ auf T (Σ,V) ist f<strong>und</strong>iert.<br />
• Die Relation → || auf T (Σ,V) mit t 1 → || t 2 gdw. |t 1 | > IN |t 2 |, ist f<strong>und</strong>iert. Hierbei<br />
bezeichnet |t| die Anzahl der Symbole in t.<br />
• Die Relation < IN auf IN ist nicht f<strong>und</strong>iert.<br />
• Für alle c ∈ IN sei < c die Relation über IN mit n < c m gdw. c > IN m > IN n. Dann ist<br />
< c f<strong>und</strong>iert.<br />
• DieRelation> Z auf Zistnicht f<strong>und</strong>iert,wobei“> Z ”dieübliche“größerals”-Relation<br />
auf den ganzen Zahlen ist.<br />
• Die Relation > Q auf Q + ist nicht f<strong>und</strong>iert, wobei “> Q ” die übliche “größer als”-<br />
Relation auf den positiven rationalen Zahlen ist.<br />
• Die Relation > IN ∗ auf IN ∗ ist f<strong>und</strong>iert.<br />
Unser Ziel ist also, TESe zu verwenden, bei denen die Ersetzungsrelation → R f<strong>und</strong>iert<br />
ist.DannkannmanjedenTermsolangereduzieren, biskeinweitererReduktionsschritt mehr<br />
möglich ist. Das Resultat dieser Reduktion bezeichnet man als Normalform. (Analog geht<br />
man bei Programmiersprachen vor, bei denen Termersetzung zur Auswertung von Termen<br />
verwendet wird. Dort wird dann ein Ausdruck zu seiner Normalform ausgewertet, die sich<br />
als Ergebnis des Programms ergibt.)
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