Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

2. Eskönntesein, dasszwar s ↔ ∗ R tgilt,dassmandazuaberdieRichtung derReduktion
mehrmals bzw. auf andere Weise wechseln muss. Mit anderen Worten, es existiert
möglicherweise trotzdem kein Term q mit s → ∗ R q und q ←∗ R t. Darüber hinaus
könnte es sein, dass s und t auf verschiedene Arten reduziert werden könnten, so dass
es an der Wahl der “richtigen” Reduktionsfolge liegt, ob manden gewünschten Beweis
findet oder nicht. Um diese Probleme zu verhindern, muss man sich auf sogenannte
konfluente Termersetzungssysteme einschränken.
Im Folgenden wollen wir diese Probleme näher skizzieren und die gewünschten Eigenschaften
formal definieren.
Beispiel 3.3.7 Um das Problem der Nicht-Terminierung zu illustrieren, betrachten wir
wieder die Gleichungsmenge E = {b ≡ c,b ≡ a,f(a) ≡ f(f(a))} aus Bsp. 3.3.5 und das
äquivalente TES R 1 = {b → c,b → a,f(a) → f(f(a))}, das durch Ersetzung des Gleichheitszeichens
durch “→” entsteht.
Um das Wortproblem f(a) ≡ E f(c) zu untersuchen, würden wir nun f(a) und f(c) jeweils
soweit wie möglich reduzieren. Der Term f(c) kann nicht weiter reduziert werden, aber die
(einzige) Auswertungsfolge von f(a) ist unendlich. Es ergibt sich
f(a) → R1 f 2 (a) → R1 f 3 (a) → R1 ...
Somit findet man niemals einen nicht mehr reduzierbaren Term und das Verfahren terminiert
nicht.
Alternativ könnte man auch das ebenfalls äquivalente TES R 2 = {b → c,b → a,f(a) →
f(f(b))} betrachten. Nun gibt es Reduktionen von f(a) zu den Termen f 2 (c), f 3 (c), etc.,
die nicht mehr weiter reduzierbar sind. Allerdings kann die Folge von Ersetzungsschritten
beliebig gewählt werden und somit ist nicht sicher gestellt, ob solch eine endliche Folge
gewählt wird oder ob man bei der Reduktion von f(a) die unendliche Folge f(a) → R2
f 2 (b) → R2 f 2 (a) → R2 f 3 (b) → R2 ... wählt.
Um die anderen oben angesprochenen Probleme zu illustrieren, verwenden wir nun ein
anderes ebenfalls äquivalentes TES R 3 = {b → c,b → a,f(f(a)) → f(a)}, bei dem alle Auswertungsfolgen
endlich sind. Wenn wir wieder das Wortproblem f(a) ≡ E f(c) untersuchen
wollen, stellt sich die Schwierigkeit, dass zwar f(a) ↔ ∗ R 3
f(c) gilt (denn f(a) ← R3 f(b) → R3
f(c)), aber diese Herleitung lässt sich nicht dadurch finden, dass man erst die beiden Terme
f(a) und f(c) reduziert und dann überprüft, ob die entstandenen Terme identisch sind.
Sowohl f(a) als auch f(c) sind nämlich nicht weiter reduzierbar und dennoch nicht identisch.
Schließlich gibt es auch den Fall, dass man das Wortproblem zwar auf die gewünschte
Art lösen kann, es aber mehrere Ersetzungsmöglichkeiten gibt, und der Erfolg des Beweises
davon abhängt, ob man die “richtige” Ersetzung wählt. Hierzu betrachten wir wieder das
TES R 3 und das Wortproblem f 2 (b) ≡ E f(a). Hierbei kann man f 2 (b) bei der richtigen Wahl
der Ersetzungsschritte zu f(a) reduzieren, so dass die Gleichheit nachgewiesen werden kann.
Man kann aber f 2 (b) auch zu f 2 (c) reduzieren und dann scheitert der Nachweis. Da man die
Reduktion frei wählen kann, ist nicht gesagt, welche der möglichen Ersetzungsschritte man
wählt. Auch das TES R 4 = {c → b,a → b,f(f(a)) → f(a)} ist ungeeignet, denn obwohl
f 2 (b) ↔ ∗ R 4
f(b) gilt, kann man dies nicht auf die gewünschte Art beweisen, da sowohl f 2 (b)
als auch f(b) irreduzibel sind.