Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

• f(a) → R f(b) ← R f(f(b)) ← R f(f(a))
Nach Satz 3.3.4 ist R also äquivalent zu E. Hingegen wäre z.B. das TES {c → a,f(f(b)) →
f(b)} zwar korrekt, aber nicht adäquat und somit auch nicht äquivalent zu E.
Bislang istnochunklar, warummannicht direkt einegerichtete VersionderGleichheiten
E als äquivalentes TES R verwendet. Der Grund liegt daran, dass allein durch Richten
von Gleichungen der Beweisaufwand immer noch viel zu groß ist. Man muss momentan
Gleichungen ja immer noch in beide Richtungen anwenden, um die Äquivalenz zu ≡ E zu
erreichen. Außerdem gibt es viele verschiedene Möglichkeiten, Terme mit einem TES zu
reduzieren, so dass immer noch viel zu viele Indeterminismen bleiben.
Die Idee ist stattdessen, zur Überprüfung von s ≡ E t bzw. von s ↔ ∗ R t (für ein zu E
äquivalentes TES R) nicht mehr Regeln in beliebiger Richtung anzuwenden, sondern wir
reduzieren zuerst s und t soweit wie möglich. Damit erhält man Auswertungsfolgen der Art
s → R s 1 → R s 2 → R ...s n und t m ← R ...t 2 ← R t 1 ← R t,
wobei s n und t m nicht weiter mit → R reduzierbar sind. Anschließend überprüfen wir, ob die
beiden Terme s n und t m , die wir erhalten haben, identisch (d.h. syntaktisch gleich) sind.
Beispiel 3.3.6 Betrachten wir wieder das TES R mit den Regeln (3.1) und (3.2). Unsere
Frage war, ob aus den plus-Axiomen E die Gleichung plus(succ(succ(O)),x) ≡ plus(succ(O),
succ(x)) folgt. Um dieses Wortproblem zu lösen, gehen wir wie folgt vor: Wir reduzieren
zuerst beide Terme in der Gleichung soweit wie möglich und überprüfen dann, ob die erhaltenen
Terme identisch sind. Im Beispiel ergibt sich
plus(succ(succ(O)),x) → R succ(plus(succ(O),x)) → R succ(succ(plus(O,x))) → R succ(succ(x))
und
plus(succ(O),succ(x)) → R succ(plus(O,succ(x))) → R succ(succ(x)).
Somit erhält man also in der Tat plus(succ(succ(O)),x) ↔ ∗ R plus(succ(O),succ(x)) bzw.
plus(succ(succ(O)),x) ≡ E plus(succ(O),succ(x)) aufgrund der Äquivalenz zu E.
Das oben skizzierte Verfahren ist mit Sicherheit korrekt, denn aus der Existenz von zwei
Auswertungsfolgen zum selben Ergebnis folgt immer s ↔ ∗ R t und somit s ≡ E t. Es stellen
sich aber bislang noch zwei Probleme:
1. Wenn wir s und t solange wie möglich reduzieren wollen, so könnte es sein, dass diese
Auswertung nicht terminiert. Hierbei gibt es zum einen die Möglichkeit, dass keine
der möglichen Auswertungen von s bzw. t terminiert. Es kann aber auch sein, dass es
zwar terminierende, aber auch nicht-terminierende Auswertungen dieser Terme gibt.
Da man die Folge der Auswertungsschritte frei wählen kann, besteht dann immer
noch die Gefahr, dass man dennoch die unendliche Ersetzungsfolge wählt. Um dies
zu verhindern, muss man sich auf sogenannte terminierende Termersetzungssysteme
beschränken.