Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Als Beispiel betrachten wir eine Datenstruktur zur Darstellung der natürlichen Zahlen,
wie sie in funktionalen Programmiersprachen üblich ist. Hierzu verwendet man eine nullstellige
Funktion O und eine einstellige Funktion succ. Diese beiden Funktionen werden
als Konstruktoren der Datenstruktur der natürlichen Zahlen benutzt, d.h., man kann mit
ihnen alle Datenobjekte der Datenstruktur darstellen. Hierbei steht O für die Zahl 0 und
succ für die Nachfolgerfunktion (“successor”). Die Zahl 1 wird also als succ(O) dargestellt,
die Zahl 2 wird als succ(succ(O)) dargestellt, etc.
Auf dieser Datenstruktur kann man nun z.B. den folgenden Additionsalgorithmus definieren.
plus(O,y) ≡ y (1.1)
plus(succ(x),y) ≡ succ(plus(x,y)) (1.2)
Dies ist ein funktionales Programm, das durch zwei Gleichungen spezifiziert wird. Es
bedeutet, dass plus das zweite Argument y zurückliefert, falls das erste Argument die Zahl
O ist. Ansonsten ruft sich plus rekursiv auf, wobei das erste Argument um eins erniedrigt
wird und das zweite Argument unverändert bleibt. Das Endresultat wird dabei um eins
erhöht.
“Berechnungen” mit solch einem Programm verlaufen durch “Anwenden” der Gleichungen
von links nach rechts. (Hierbei darf man beliebige Teilausdrücke anhand der Gleichungenersetzen.)
Wennmanalso“2+1”berechnenmöchte, ruftmanplusmitdenArgumenten
succ(succ(O)) und succ(O) auf. Die Auswertung verläuft dann wie folgt:
plus(succ(succ(O)),succ(O)) → succ(plus(succ(O),succ(O)))
→ succ(succ(plus(O,succ(O))))
→ succ(succ(succ(O)))
Man erhält also das Ergebnis 3, wie erwünscht.
Systeme von Gleichungen wie oben, die von links nach rechts angewendet werden sollen,
bezeichnet man als Termersetzungssysteme. Hierbei schreibt man üblicherweise anstelle des
Gleichheitszeichens “≡”einenPfeil“→”,umzuverdeutlichen, inwelcher Richtung dieGleichungen
anzuwenden sind. Ausdrücke wie plus(succ(succ(O)),succ(O)) oder plus(succ(x),y)
heißen Terme. Terme sind aus Variablen (wie x und y) und Funktionssymbolen (wie O, succ
und plus) aufgebaut. Die Auswertung von Termen anhand von Gleichungen wie oben bezeichnet
man als Termersetzung. Man erkennt also, dass Termersetzung ein sehr einfacher
und natürlicher Mechanismus ist, der vielen Programmiersprachen zugrunde liegt, und dass
die Sprache der Termersetzungssysteme inder Tat eine (bzw. die) grundlegende funktionale
Programmiersprache ist.
Um die Zuverlässigkeit und Korrektheit von Programmen zu garantieren, ist es nicht
hinreichend, sie nur zu testen, sondern es werden Techniken benötigt, um sie formal zu analysieren
und zu verifizieren. Solche Analysen und Verifikationen sind jedoch im allgemeinen
sehr aufwendig — insbesondere bei umfangreichen Programmen, wie sie in der Praxis eingesetzt
werden. Aus diesem Grund wird versucht, diese Aufgaben weitgehend automatisch
durchzuführen. Hierzu erweisen sich Termersetzungssysteme als äußerst wichtiges Werkzeug.