Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Wortproblem für E dadurch lösen, dass man eine Folge von R-Ersetzungsschritten sucht,
so dass sich s und t ineinander überführen lassen. Allerdings können bei dieser Folge die
Regeln von R noch in beide Richtungen angewendet werden.
Zunächst wollen wir aber die Frage untersuchen, wie man zu einem Gleichungssystem E
ein äquivalentes TES R findet. Falls sich E durch Ersetzung der Gleichheitszeichen durch
Pfeile direkt in ein TES überführen lässt, so ist dieses TES trivialerweise äquivalent zu E.
Satz3.3.4zeigteinenallgemeinerenZusammenhang zwischen Gleichungssystemen unddazu
äquivalenten TESen. Er macht deutlich, dass man nur die Regeln in R und die Gleichungen
in E untersuchen muss (und nicht alle Paare von Termen, die sich in der transitiv-reflexivsymmetrischen
Hülle der beiden Relationen befinden), um festzustellen, ob das TES R
äquivalent zu E ist.
Satz 3.3.4 (Zusammenhang zwischen Gleichungssystem und TES) Sei E ein Gleichungssystem
und R ein TES über Σ und V. R ist äquivalent zu E gdw.
• l ↔ ∗ E
r für alle Regeln l → r ∈ R (“R ist korrekt für E”) und
• s ↔ ∗ R t für alle Gleichungen s ≡ t ∈ E (“R ist adäquat für E”).
Beweis. Aus der Äquivalenz von R und E folgt die Korrektheit sofort. Da außerdem für
alle Gleichungen s ≡ t ∈ E auch s ↔ ∗ E t gilt, folgt aus der Äquivalenz s ↔∗ R t (d.h., R ist
adäquat für E).
Nun zeigen wir, dass aus der Korrektheit und Adäquatheit die Äquivalenz folgt. Wenn
für alle Regeln l → r ∈ R jeweils l ↔ ∗ E r gilt, so folgt auch aus s ↔∗ R t ebenfalls s ↔∗ E t
aufgrund der Abgeschlossenheit von ↔ ∗ E unter Substitutionen und Kontexten (formal ist
hierbei eine Induktion über die Anzahl der Ersetzungsschritte bei s ↔ ∗ R t nötig). Aus der
Korrektheit folgt somit ↔ ∗ R ⊆ ↔∗ E .
Umgekehrt folgt aus der Adäquatheit, dass s ↔ ∗ E t jeweils auch s ↔∗ R t impliziert, denn
s ↔ ∗ R t ist ebenfalls abgeschlossen unter Substitutionen und Kontexten (formal ist hier
eine Induktion über die Anzahl der Ersetzungsschritte bei s ↔ ∗ E t nötig). Somit erhält man
↔ ∗ E ⊆ ↔∗ R .
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Beispiel 3.3.5 DasTES{(3.1),(3.2)}isttrivialerweise äquivalent zuder Gleichungsmenge
{plus(O,y) ≡ y,plus(succ(x),y) ≡ succ(plus(x,y))}.
Als weiteres Beispiel betrachten wir das Gleichheitssystem E = {b ≡ c,b ≡ a,f(a) ≡
f(f(a))} und R = {c → b,a → b,f(f(b)) → f(b)}. Dann ist R für E korrekt, denn
• c ← E b
• a ← E b
• f(f(b)) → E f(f(a)) ← E f(a) ← E f(b)
R ist auch adäquat für E, denn
• b ← R c,
• b ← R a,