Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

mehrere Redexe besitzen, die nicht unbedingt alle reduziert werden.)
plus(succ(succ(O)),succ(O)) → R succ(plus(succ(O),succ(O)))
→ R succ(succ(plus(O,succ(O))))
→ R succ(succ(succ(O)))
Man erhält also die Reduktion plus(succ(succ(O)),succ(O)) → ∗ R succ(succ(succ(O))).
Die Sprache der Termersetzungssysteme ist also fast identisch mit der Sprache der Gleichungssysteme,
aber Termersetzungssysteme stellen eine Programmiersprache mit einer bestimmten
Auswertungsrelation (der Termersetzungsrelation) dar. Man kann zeigen, dass
diese Programmiersprache Turing-vollständig ist, d.h., jedes berechenbare Programm lässt
sich mit Hilfe von TESen schreiben. In der Tat beruhen insbesondere funktionale Programmiersprachen
direkt auf der Sprache der TESe (wobei natürlich unterschiedliche und
ergänzende syntaktische Konstrukte verwendet werden).
Manchmal betrachtet man spezielle Termersetzungssysteme, bei denen die Regeln lediglich
einstellige Funktionssymbole enthalten. Ein Beispiel ist das TES mit der Regel
f(f(x)) → f(g(f(x)))
Die Regeln solcher TESe kann man kürzer schreiben, indem man die Klammern und die
innerste Variable weglässt; man erhält dann
ff → fgf.
Anstelle der Auswertung f(f(f(x))) → f(f(g(f(x)))) → f(g(f(g(f(x))))) schreibt man dann
kürzer
fff → ffgf → fgfgf.
Solche Regelsysteme bezeichnet man auch als Wortersetzungssysteme (engl. string rewriting
system) oder Semi-Thue Systeme. Hier kann man die Terme als Worte auffassen und
die Regeln entsprechen Grammatikregeln, die sagen, wie man bestimmte Teilworte ersetzen
kann. Wir werden den Spezialfall der Wortersetzungssysteme nicht weiter gesondert
betrachten; hierzu sei auf [BA95, Kap. 3] und [Ave95, Kap. 2] verwiesen.
Aus Lemma 3.1.13 folgt sofort, dass die Termersetzungsrelation → R ebenso wie die
Relation→ ∗ R stabilundmonotonist.Darüberhinausist→∗ R natürlichreflexivundtransitiv,
aber nicht symmetrisch.
Anstelle von Gleichungssystemen E wollen wir im Folgenden mit TESen R arbeiten.
Hierzu muss das TES R aber natürlich dem Gleichungssystem E “entsprechen”. Hierzu
definiert man den Begriff der “Äquivalenz”.
Definition 3.3.3 (Äquivalenz von Gleichungssystem und TES) Sei E ein Gleichungssystem
und R ein TES über Σ und V. Dann ist R äquivalent zu E gdw. ↔ ∗ R = ↔∗ E .
Wir sind ja daran interessiert, das Wortproblem s ≡ E t für Gleichungssysteme E zu
lösen. Aufgrund des Satzes von Birkhoff (Satz 3.1.14) bedeutet Äquivalenz zwischen R und
E, dass ↔ ∗ R = ↔∗ E = ≡ E gilt. Sofern ein TES R also äquivalent zu E ist, lässt sich das