Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

• l ∉ V.
Eine Menge R von Regeln wird Termersetzungssystem (TES, engl. term rewriting system)
über Σ und V genannt.
Für ein Termersetzungssystem R ist die (Term-)ersetzungsrelation → R ⊆ T (Σ,V) ×
T (Σ,V) definiert durch
s → R t gdw. s| π = lσ und t = s[rσ] π
für eine Stelle π ∈ Occ(s), eine Regel l → r ∈ R und ein σ ∈ SUB(Σ,V). Man nennt s → R
t einen (Term-)ersetzungsschritt, bei dem s an der Stelle π reduziert wird. Ein Teilterm s| π ,
auf den die linke Seite einer Regel matcht, heißt Redex (für “reducible expression”). Wenn
R aus dem Zusammenhang ersichtlich ist, schreiben wir manchmal auch “→” anstelle von
“→ R ”. Anstelle von “s → R t” schreiben wir außerdem gelegentlich auch “t ← R s”.
Wie bei den Gleichungssystemen werden wir uns auch bei TESen im Folgenden auf endliche
Mengen beschränken. Die Termersetzungsrelation → R ist genauso definiert wie die
Ersetzungsrelation → E für eine Menge von Gleichungen. Der einzige Unterschied ist, dass
wir jetzt mehr an der transitiv-reflexiven Hülle → ∗ interessiert sind als an der transitivreflexiv-symmetrischen
Hülle ↔ ∗ , d.h., wir wenden die Regeln eines Termersetzungssystems
nur in eine Richtung an, wohingegen Gleichungen typischerweise in beide Richtungen angewendet
werden können.
Durch das Richten der Gleichungen wird der Indeterminismus des Suchverfahrens aus
Abschnitt 3.1 bereits reduziert. Die Bedingung V(r) ⊆ V(l) entspricht dann der “Variablenbedingung”,
diedort diskutiert wurde. DieseVariablenbedingung verlangte, dass auf beiden
Seiten einer Gleichung genaudieselben Variablen vorkommen. Dieshat den Vorteil, dass bei
Anwendung einer Gleichung der Matcher (und damit die Instantiierung der anderen Seite
der Gleichung) bereits eindeutig festgelegt ist. Da Gleichungen nun aber nur noch von links
nach rechts angewendet werden können, muss man bloß noch verlangen, dass alle Variablen
auf der rechten Seite auch auf der linken Seite auftreten. Damit ist bei einer Anwendung
einer Termersetzungsregel die Instantiierung der rechten Seite bereits eindeutig festgelegt.
Auch die Bedingung l ∉ V dient dazu, den Indeterminismus zu reduzieren. Regeln mit
einer Variablen als linke Seite wären immer (d.h. auf jeden Term) anwendbar. Durch die
Bedingung, dass eine linke Seite zumindest mit einem Funktionssymbol beginnen muss,
wird ihre Anwendbarkeit etwas eingeschränkt.
Beispiel 3.3.2 Sowohl die Additionsgleichungen als auch die Gruppenaxiome erfüllen die
Variablenbedingungen. Sie lassen sich daher nun beide als TES schreiben. (Selbstverständlich
stellt sich hierbei im allgemeinen die Frage, in welche Richtung solche Gleichungen zu
orientieren sind, wenn dies nicht bereits durch die Variablenbedingungen erzwungen wird.)
plus(O,y) → y (3.1)
plus(succ(x),y) → succ(plus(x,y)) (3.2)
f(x,f(y,z)) → f(f(x,y),z) (3.3)
f(x,e) → x (3.4)
f(x,i(x)) → e (3.5)
Wenn R = {(3.1),(3.2)} ist, so erhält man z.B. die folgende Folge von Ersetzungsschritten.
Die Redexe sind hierbei jeweils unterstrichen. (Im allgemeinen kann ein Term natürlich