Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

• In Schritt 5 vereinigt man alle nicht-disjunkten Mengen in K und erhält somit K =
{{i,j,f(j),f(i),g(k),g(l),m},{k,l},{f(m)}}. Da K ≠ L gilt, wird in Schritt 6 L auf
diese Menge gesetzt und man geht zurück zu Schritt 4.
• Man setzt nun K wieder auf L und erweitert es (neben einelementigen Mengen) um
{f(i),f(j)},{f(i),f(m)},{f(j),f(m)},{g(k),g(l)}. In Schritt 5 vereinigt man alle nichtdisjunkten
Mengen in K und erhält somit K = {{i,j,f(j),f(i),g(k),g(l),m,f(m)},
{k,l}}. Da K ≠ L gilt, wird in Schritt 6 L auf diese Menge gesetzt und man geht
zurück zu Schritt 4.
• Das nochmalige Durchlaufen von Schritt 4 und 5 führt dazu, dass K und L identisch
sind. Man erreicht somit Schritt 7. Da es eine Menge {i,j,f(j),f(i),g(k),g(l),m,f(m)}
in K gibt, die sowohl f(m) als auch g(k) enthält, gibt der Algorithmus “True” aus.
Das in diesem Abschnitt vorgestellte Verfahren ist allerdings tatsächlich nur für Grundidentitätenverwendbar.
Bei E = {f(f(x)) ≡ g(x)}giltz.B. f(g(a)) ≡ E g(f(a)),aberdies lässt
sich nur mit Hilfe der Gleichungen f(g(a)) ≡ E f(f(f(a))) und f(f(f(a))) ≡ g(f(a)) und der
Transitivitätzeigen.DerTermf(f(f(a)))istabernichtinSubterms(E)∪Subterms(f(g(a)))∪
Subterms(g(f(a))) enthalten.
3.3 Termersetzungssysteme
Im vorigen Abschnitt haben wir gesehen, wie man das Wortproblem für Grundidentitäten
entscheiden kann, d.h. für Gleichungssysteme E, die keine Variablen enthalten. In vielen
Anwendungen treten aber sowohl in den Axiomen als auch in den zu untersuchenden Gleichungen
Variablen auf. Man geht hierbei davon aus, dass die Axiome für alle Belegungen
der darin vorkommenden Variablen gelten und man will wissen, ob die zu untersuchende
Gleichung für alle Belegungen der darin vorkommenden Variablen aus den Axiomen folgt.
Wie in Abschnitt 3.1 gezeigt wurde, kann man dieses Wortproblem mit Hilfe der Beweisrelation
↔ ∗ E untersuchen. Das Problem dabei ist aber, dass man nicht weiß, welche
Gleichung an welcher Stelle angewendet werden soll, so dass sich ein in der Praxis nicht
tolerierbarer und ggf. unendlicher Suchaufwand ergibt.
Will man den Aufwand des Suchbaumverfahrens aus Abschnitt 3.1 senken, so müssen
die Indeterminismen der Beweisrelation so verringert werden, dass man schließlich den Verzweigungsgrad
1 erhält. Der erste Schritt besteht darin, dass die Richtung der Gleichungen
des Gleichungssystems festgelegt wird. Damit kann man bei Teiltermersetzungen die Gleichungen
nur noch in eine Richtung anwenden. Wir schreiben daher nun einen Pfeil “→”
anstelle des Gleichheitszeichens “≡” und bezeichnen die gerichteten Gleichungen als Regeln.
Dies führt zu dem grundlegenden Begriff des Termersetzungssystems.
Definition 3.3.1 (Termersetzungssystem) Für l,r ∈ T (Σ,V) heißt ein Ausdruck
l → r
(Termersetzungs-)regel (über Σ und V), sofern
• V(r) ⊆ V(l) und