Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

1. Sei S = Subterms(E)∪Subterms(s)∪Subterms(t).
2. Sei L = {{s,t} | s ≡ t ∈ E}∪{{s} | s ∈ S}.
3. Vereinige alle Mengen M 1 ,M 2 ∈ L mit M 1 ∩M 2 ≠ ∅.
4. Sei K = L∪{{f(s 1 ,...,s n ),f(t 1 ,...,t n )} | f ∈ Σ, es ex. M i ∈ L mit s i ,t i ∈ M i ,
f(s 1 ,...,s n ),f(t 1 ,...,t n ) ∈ S}.
5. Vereinige alle Mengen M 1 ,M 2 ∈ K mit M 1 ∩M 2 ≠ ∅.
6. Falls K ≠ L dann setze L = K und gehe zu 4.
7. Falls es ein M ∈ L gibt mit s ∈ M und t ∈ M, dann gib “True” aus.
Sonst gib “False” aus.
Der obige Algorithmus lässt sich natürlich noch etwas verbessern, indem man bereits
vor der “Kongruenz–Bildung” in Schritt 4 jeweils überprüft, ob bereits s und t zusammen
in einer Menge M ∈ L auftreten. In diesem Fall kann man sofort “True” ausgeben und den
Algorithmus beenden.
Satz 3.2.15 (Korrektheit des Algorithmus)
Der Algorithmus KONGRUENZABSCHLUSS terminiert immer und ist korrekt.
Beweisskizze.DieTerminierungfolgtanalogzuLemma3.2.11,denndaS endlichistundL
injedemSchleifendurchlauf wächst, gilt irgendwann K = L. DieKorrektheit gilt ausfolgendem
Grund: Nach Schritt 3 ist L = S 0 , d.h., es gilt s,t ∈ M für ein M ∈ L gdw. s ⇔ ∗ E t und
s,t ∈ S. Mit anderen Worten, man hat E0 S′ = {s ≡ t | es existiert ein M ∈ L mit s,t ∈ M}.
(Die Vereinigung aller nicht-disjunkten Mengen erzeugt gerade den transitiv-reflexiv-symmetrischen
Abschluss.) Nach Schritt 5 gilt im i-ten Schleifendurchlauf K = S i , d.h., es
gilt s,t ∈ M für ein M ∈ K gdw. s ⇔ ∗ t und s,t ∈ S. Man hat somit
Ei−1 S′ ∪C(ES′ i−1 )
Ei S′ = {s ≡ t | es existiert ein M ∈ K mit s,t ∈ M} (dies zeigt man durch Induktion über
i). In Schritt 7 gilt somit L = S/ ⇒CC S (E)
, d.h., es existiert ein M ∈ L mit s,t ∈ M gdw.
s ≡ t ∈ CC S (E). Aufgrund der Korrektheit und Vollständigkeit des Kongruenzabschlusses
bzgl. S (Satz 3.2.12) ist dies gleichbedeutend zu s ≡ E t.
✷
Beispiel 3.2.16 Der obige Algorithmus arbeitet wie folgt in unserem Beispiel. Hierbei ist
wieder E = {i ≡ j,k ≡ l,f(i) ≡ g(k),j ≡ f(j),m ≡ g(l)}, s = f(m) und t = g(k).
• Im ersten Schritt erzeugt man S = {i,j,k,l,m,f(i),f(j),f(m),g(k),g(l)}.
• Im zweiten Schritt setzt man L auf die Menge, die {i,j},{k,l},{f(i),g(k)},{j,f(j)},
{m,g(l)},{f(m)} sowie {q} für alle q ∈ S enthält.
• Im dritten Schritt vereinigt man alle nicht-disjunkten Mengen von L wie z.B. {i,j}
und {j,f(j)}. Es ergibt sich L = {{i,j,f(j)},{k,l},{f(i),g(k)},{m,g(l)},{f(m)}}. Dies
ist die Quotientenmenge zur Relation ⇔ ∗ E , bei der zwei Terme gleich sind, wenn dies
aufgrund der (wiederholten) Reflexivität, Transitivität und Symmetrie aus E folgt.
• Nun setzt man K auf L und erweitert es um Mengen {f(t 1 ),f(t 2 )} und {g(t 1 ),g(t 2 )},
wobei t 1 undt 2 jeweils ausdenselben Mengen von Lstammen müssen. Es werden aber
nur solche Terme betrachtet, die in S enthalten sind. Neben einelementigen Mengen
(bei denen also t 1 = t 2 ist) enthält K dann die zusätzlichen Mengen {f(i),f(j)} und
{g(k),g(l)}.