Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Beispiel 3.2.13 Anhand des Beweises von f(m) ≡ E g(k) in Bsp. 3.2.6 erkennt man, dass
hier nur Gleichungen über den Termen aus S = {i,j,k,l,m,f(i),f(j),f(m),g(k),g(l)}verwendet
wurden. Es gilt also auch f(m) ≡ g(k) ∈ E S 9 ⊆ CCS (E).
Das Verfahren, das gemäß Satz 3.2.12 in endlich vielen Schritten CC S (E) konstruiert
und dann überprüft, ob s ≡ t ∈ CC S (E) ist, ist automatisch (mit polynomiellem Aufwand)
durchführbar, es terminiert immer und man kann damit entscheiden, ob s ≡ E t gilt.
Insgesamt ergibt sich also das folgende Korollar.
Korollar 3.2.14 (Entscheidbarkeit des Wortproblems bei Grundidentitäten)
Sei E eine endliche Menge von Grundidentitäten. Dann ist das Wortproblem (d.h., die
Frage ob s ≡ E t für s,t ∈ T (Σ) gilt) entscheidbar.
Bei der Berechnung des Kongruenzabschlusses genügt es also, nur Teilterme der Gleichungsmenge
und der zu untersuchenden Terme zu betrachten. Dies ist nicht der Fall, wenn
man eine Herleitung mittels ↔ E finden will. Wie Bsp. 3.2.2 zeigt, muss man hier in den
Zwischenschritten auch Terme betrachten, die weder in E vorkommen noch in den Termen,
die man auf Gleichheit untersuchen will. (Der Grund ist, dass hier der Kontext der Terme
immer beibehalten wird.) Ansonsten entspricht die Herleitung aus Bsp. 3.2.2 nämlich
gerade dem Beweis mit Hilfe des Kongruenzabschlusses aus Bsp. 3.2.6.
ZurpraktischenBerechnung desKongruenzabschlusses istanstellevonE0,E S 1,...folgende
Iteration geeigneter. Hierbei sei für alle Gleichheitssysteme E die Relation ⇒ E definiert
S
alss ⇒ E tgdw.s ≡ t ∈ E.Wieüblichist⇔ ∗ E danndietransitiv-reflexiv-symmetrische Hülle
von ⇒ E . Sei Aq(E) die Menge aller Gleichungen, die aus E gemäß (wiederholter) Anwendung
von Reflexivität, Transitivität und Symmetrie folgen, d.h., Aq(E) = {s ≡ t|s ⇔ ∗ E t}.
Dann sei
• E S′
0 = Aq(E)∩S ×S
• Ei+1 S′ = Aq(ES′ i ∪C(Ei S′ ))∩S ×S
Es ist (bei endlichem S) leicht zu zeigen, dass es für alle i ein j gibt, so dass Ei S′ ⊆ Ej S und
dass es für alle i ein j gibt, so dass Ei S ⊆ Ej S′ . Somit gilt CCS (E) = ⋃ i∈IN ES′ i .
Man kann also anstelle der Iteration E S 0,E S 1,... auch die Iteration E S′
0 ,E S′
lassen. Da ⇒ E S ′
i
Quotientenmenge S i = S/ ⇒E S ′
i
S i = S i+1 gdw. E S′
i = E S′
i+1
1 ,... berechnen
auch die
| s ∈ S}. Man hat
jeweils eine Äquivalenzrelation ist, kann man anstelle von E S′
i
berechnen, d.h., die Menge {[s] ⇒E S ′
i
. Hierbei ergibt sich dann folgender Algorithmus.
Algorithmus KONGRUENZABSCHLUSS(E,s,t)
Eingabe: Eine endliche Menge von Grundidentitäten E und
zwei Grundterme s,t ∈ T (Σ).
Ausgabe: “True”, falls s ≡ E t und sonst “False”.