Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

muss man nur CC S (E) berechnen. Diese Menge ist endlich und lässt sich mit endlich vielen
Iterationen berechnen. Dann gilt s ≡ E t genau dann, wenn die Gleichung s ≡ t in CC S (E)
enthalten ist.
Satz 3.2.12 (Kongruenzabschluss bzgl. S ist korrekt und vollständig) Sei E eine
Menge von Grundidentitäten über der Signatur Σ und seien s,t ∈ T(Σ). Weiter sei
Subterms(E)∪Subterms(s)∪Subterms(t) ⊆ S. Dann gilt s ≡ E t gdw. s ≡ t ∈ CC S (E).
Beweis.
Korrektheit:
Offensichtlich ist CC S (E) ⊆ CC(E). Somit folgt aus s ≡ t ∈ CC S (E) sofort s ≡ E t
aufgrund der Korrektheit des Kongruenzabschlusses (Satz 3.2.7).
Vollständigkeit:
Nach dem Satz von Birkhoff (Satz 3.1.14) ist s ≡ E t gleichbedeutend zu s ↔ ∗ E t. Wir
zeigen daher, dass aus Subterms(s) ⊆ S, Subterms(t) ⊆ S, Subterms(E) ⊆ S und
s ↔ ∗ E t folgt, dass auch s ≡ t ∈ CCS (E) ist.
Nach Definition bedeutet s ↔ ∗ E t, dass s = s 0 ↔ E s 1 ↔ E ... ↔ E s n = t für ein n ≥ 0
gilt. Wir beweisen die Behauptung durch Induktion über n.
Im Induktionsanfang ist n = 0. Dann gilt s = t und daher s ≡ t ∈ R∩S ×S ⊆ E S 0 .
Im Induktionsschluss ist n > 0. Wir betrachten zunächst den Fall, dass in der Herleitung
s = s 0 ↔ E s 1 ↔ E ... ↔ E s n = t an mindestens einer Stelle eine Gleichung an
der obersten Stelle ǫ angewendet wurde. Es existiert also ein k mit 1 ≤ k < n und
s k = u und s k+1 = v für eine Gleichung u ≡ v oder v ≡ u aus E. Wir haben daher
s = s 0 ↔ E ... ↔ E s k = u und v = s k+1 ↔ E ... ↔ E s n = t. Diese beiden Herleitungen
sind jeweils kürzer als die ursprüngliche Herleitung und wir haben Subterms(u) ⊆ S
und Subterms(v) ⊆ S, da u und v Terme aus E sind. (Dies gilt nur, da E bloß Grundidentitäten
enthält.) Somit folgt aus der Induktionshypothese s ≡ u ∈ CC S (E) und
v ≡ t ∈ CC S (E). Da auch u ≡ v ∈ E1 S ⊆ CC S (E) und da CC S (E) unter Transitivität
abgeschlossen ist, folgt s ≡ t ∈ CC S (E). Damit haben wir also gezeigt, dass für alle
Terme s,t mit Subterms(s) ⊆ S, Subterms(t) ⊆ S, aus s ↔ ∗ E t folgt, dass auch
s ≡ t ∈ CC S (E) gilt, sofern die Herleitung s ↔ ∗ E t nicht mehr als n Schritte benötigt
und an mindestens einer Stelle eine Gleichung an der obersten Stelle ǫ angewendet
wurde.
Nun betrachten wir den Fall, dass in der Herleitung s ↔ ∗ E t keine Gleichung an der
obersten Stelle ǫ angewendet wurde. Seien π 1 ,...,π k mit π i ⊥π j für i ≠ j die obersten
Stellen in s, an denen in der Herleitung jemals Gleichungen angewendet werden.
Somit gilt also s| πi = p i und p i ↔ ∗ E q i für alle 1 ≤ i ≤ k und t = s[q 1 ] π1 ...[q k ] πk .
Jede Herleitung p i ↔ ∗ E q i ist höchstens so lang wie die Herleitung von s ↔ ∗ E t, d.h., sie
benötigt höchstens n Schritte und an mindestens einer Stelle wird eine Gleichung an
der obersten Stelle ǫ angewendet. Außerdem gilt Subterms(p i ) ⊆ Subterms(s) ⊆ S
und Subterms(q i ) ⊆ Subterms(t) ⊆ S. Wie im vorigen Fall zeigt man also p i ≡
q i ∈ CC S (E). Da CC S (E) für Terme aus S unter Kongruenz abgeschlossen ist, folgt
s ≡ t ∈ CC S (E).
✷