Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...
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muss man nur CC S (E) berechnen. Diese Menge ist endlich <strong>und</strong> lässt sich mit endlich vielen<br />
Iterationen berechnen. Dann gilt s ≡ E t genau dann, wenn die Gleichung s ≡ t in CC S (E)<br />
enthalten ist.<br />
Satz 3.2.12 (Kongruenzabschluss bzgl. S ist korrekt <strong>und</strong> vollständig) Sei E eine<br />
Menge von Gr<strong>und</strong>identitäten über der Signatur Σ <strong>und</strong> seien s,t ∈ T(Σ). Weiter sei<br />
Subterms(E)∪Subterms(s)∪Subterms(t) ⊆ S. Dann gilt s ≡ E t gdw. s ≡ t ∈ CC S (E).<br />
Beweis.<br />
Korrektheit:<br />
Offensichtlich ist CC S (E) ⊆ CC(E). Somit folgt aus s ≡ t ∈ CC S (E) sofort s ≡ E t<br />
aufgr<strong>und</strong> der Korrektheit des Kongruenzabschlusses (Satz 3.2.7).<br />
Vollständigkeit:<br />
Nach dem Satz von Birkhoff (Satz 3.1.14) ist s ≡ E t gleichbedeutend zu s ↔ ∗ E t. Wir<br />
zeigen daher, dass aus Subterms(s) ⊆ S, Subterms(t) ⊆ S, Subterms(E) ⊆ S <strong>und</strong><br />
s ↔ ∗ E t folgt, dass auch s ≡ t ∈ CCS (E) ist.<br />
Nach Definition bedeutet s ↔ ∗ E t, dass s = s 0 ↔ E s 1 ↔ E ... ↔ E s n = t für ein n ≥ 0<br />
gilt. Wir beweisen die Behauptung durch Induktion über n.<br />
Im Induktionsanfang ist n = 0. Dann gilt s = t <strong>und</strong> daher s ≡ t ∈ R∩S ×S ⊆ E S 0 .<br />
Im Induktionsschluss ist n > 0. Wir betrachten zunächst den Fall, dass in der Herleitung<br />
s = s 0 ↔ E s 1 ↔ E ... ↔ E s n = t an mindestens einer Stelle eine Gleichung an<br />
der obersten Stelle ǫ angewendet wurde. Es existiert also ein k mit 1 ≤ k < n <strong>und</strong><br />
s k = u <strong>und</strong> s k+1 = v für eine Gleichung u ≡ v oder v ≡ u aus E. Wir haben daher<br />
s = s 0 ↔ E ... ↔ E s k = u <strong>und</strong> v = s k+1 ↔ E ... ↔ E s n = t. Diese beiden Herleitungen<br />
sind jeweils kürzer als die ursprüngliche Herleitung <strong>und</strong> wir haben Subterms(u) ⊆ S<br />
<strong>und</strong> Subterms(v) ⊆ S, da u <strong>und</strong> v Terme aus E sind. (Dies gilt nur, da E bloß Gr<strong>und</strong>identitäten<br />
enthält.) Somit folgt aus der Induktionshypothese s ≡ u ∈ CC S (E) <strong>und</strong><br />
v ≡ t ∈ CC S (E). Da auch u ≡ v ∈ E1 S ⊆ CC S (E) <strong>und</strong> da CC S (E) unter Transitivität<br />
abgeschlossen ist, folgt s ≡ t ∈ CC S (E). Damit haben wir also gezeigt, dass für alle<br />
Terme s,t mit Subterms(s) ⊆ S, Subterms(t) ⊆ S, aus s ↔ ∗ E t folgt, dass auch<br />
s ≡ t ∈ CC S (E) gilt, sofern die Herleitung s ↔ ∗ E t nicht mehr als n Schritte benötigt<br />
<strong>und</strong> an mindestens einer Stelle eine Gleichung an der obersten Stelle ǫ angewendet<br />
wurde.<br />
Nun betrachten wir den Fall, dass in der Herleitung s ↔ ∗ E t keine Gleichung an der<br />
obersten Stelle ǫ angewendet wurde. Seien π 1 ,...,π k mit π i ⊥π j für i ≠ j die obersten<br />
Stellen in s, an denen in der Herleitung jemals Gleichungen angewendet werden.<br />
Somit gilt also s| πi = p i <strong>und</strong> p i ↔ ∗ E q i für alle 1 ≤ i ≤ k <strong>und</strong> t = s[q 1 ] π1 ...[q k ] πk .<br />
Jede Herleitung p i ↔ ∗ E q i ist höchstens so lang wie die Herleitung von s ↔ ∗ E t, d.h., sie<br />
benötigt höchstens n Schritte <strong>und</strong> an mindestens einer Stelle wird eine Gleichung an<br />
der obersten Stelle ǫ angewendet. Außerdem gilt Subterms(p i ) ⊆ Subterms(s) ⊆ S<br />
<strong>und</strong> Subterms(q i ) ⊆ Subterms(t) ⊆ S. Wie im vorigen Fall zeigt man also p i ≡<br />
q i ∈ CC S (E). Da CC S (E) für Terme aus S unter Kongruenz abgeschlossen ist, folgt<br />
s ≡ t ∈ CC S (E).<br />
✷