Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Für jeden Term s ist die Menge Subterms(s) endlich, denn jeder Term hat nur endlich
viele Teilterme. Wenn das Gleichungssystem E endlich ist, so ist damit auch Subterms(E)
endlich. Es zeigt sich, dass wir bei der Bildung des Kongruenzabschlusses nicht alle möglichenTerme
betrachtenmüssen, sondern nurdieTermeausS = Subterms(E)∪Subterms(s)
∪Subterms(t), wenn wir untersuchen wollen, ob s ≡ E t gilt. Dies führt zur Definition des
Kongruenzabschlusses bezüglich einer Menge von Termen S.
Definition 3.2.9 (Kongruenzabschluss bezüglich einer Menge von Termen) Sei
E eine Menge von Grundidentitäten über der Signatur Σ und seien s,t ∈ T (Σ). Weiter sei
S = Subterms(E)∪Subterms(s)∪Subterms(t). Dann definieren wir die Mengen E S 0,E S 1,...
wie folgt:
• E S 0 = (E ∪R) ∩ S ×S
• Ei+1 S = (ES i ∪S(Ei S)∪T(ES i )∪C(ES i )) ∩ S ×S.
Der Kongruenzabschluss CC S (E) von E bezüglich S ist definiert als der “Limes” der Folge
E S 0 ,ES 1 ,..., d.h., CCS (E) = ⋃ i∈IN ES i .
In der obigen Definition von E S i+1 betrachten wir Gleichungen der Einfachheit halber als
Paare von Termen. Alternativ könnte man z.B. auch schreiben
E S i+1 = (ES i ∪S(E S i )∪T(ES i )∪C(ES i
)) ∩ {u ≡ v | u,v ∈ S}.
Beispiel 3.2.10 Für E aus Bsp. 3.2.2 und s = f(m), t = g(k) erhält man S = {i,j,k,l,m,
f(i),f(j),f(m),g(k),g(l)}. Im Unterschied zu E 1 enthält E1 S also nur Gleichungen zwischen
Termen aus S. Eine Gleichung wie g(i) ≡ g(j) fehlt also. Genauer haben wir
E S 1
= E ∪
{t ≡ t | t ∈ S}∪
{j ≡ i,l ≡ k,g(k) ≡ f(i),f(j) ≡ j,g(l) ≡ m}∪
{i ≡ f(j)}∪
{f(i) ≡ f(j),g(k) ≡ g(l)}
Da S endlich ist, existieren nur endliche viele Gleichungen s ≡ t mit s,t ∈ S. Alle E S i
sind daher endlich und es existiert ein i ∈ IN mit E i = E i+1 . Der Kongruenzabschluss bzgl.
S wird also nach endlich vielen Schritten erreicht.
Lemma 3.2.11 (CC S (E) wird nach endlich vielen Schritten erreicht) Sei E eine
endliche Menge von Grundidentitäten und S = Subterms(E)∪Subterms(s)∪Subterms(t)
für s,t ∈ T(Σ). Dann existiert ein i ∈ IN, so dass E S i = E S i+1. Daraus folgt CC S (E) = E S i .
Beweis. Es gilt Ei S ⊆ Ei+1 S für alle i ∈ IN. Da ES i ⊆ S × S für alle i ∈ IN und da S × S
endlich ist, muss es ein i ∈ IN geben mit Ei S = Ei+1. S Daraus folgt dann Ei S = Ej S für alle
j ≥ i und somit Ei S = ⋃ j∈IN ES j = CC S (E).
✷
Der folgende Satz zeigt, dass dieser eingeschränkte (und endliche) Kongruenzabschluss
bereitsebenfallskorrektundvollständigist.MitanderenWorten,ums ≡ E tzuuntersuchen,