Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Man kann zeigen, dass der Kongruenzabschluss von E die kleinste Kongruenzrelation
beschreibt, in der alle Gleichungen aus E gelten. Es ist offensichtlich, dass der Kongruenzabschluss
nur Gleichungen enthält, die aus E folgen. Durch die obige Herleitung wird also
wie gewünscht f(m) ≡ E g(k) bewiesen. In der Tat gilt aber auch der Umkehrschluss, d.h.,
auf diese Weise erhält man alle Gleichungen, die aus E folgen.
Satz 3.2.7 (Kongruenzabschluss ist korrekt und vollständig) Sei E eine Menge
von Grundidentitäten über Σ und sei s,t ∈ T(Σ). Dann gilt s ≡ E t gdw. s ≡ t ∈ CC(E).
Beweis.
Korrektheit:
Wir zeigen, dass für alle i ∈ IN aus s ≡ t ∈ E i die Aussage s ≡ E t folgt. Dann ergibt
sich die Behauptung sofort, da CC(E) = ⋃ i∈IN E i.
Hierzu verwenden wir Induktion über i. Im Induktionsanfang ist i = 0 undE 0 = E∪R.
Somit ist hier die Aussage trivial.
Im Induktionsschluss sei s ≡ t ∈ E i+1 = E i ∪S(E i )∪T(E i )∪C(E i ). Nach der Induktionshypothese
folgt für alle Gleichungen s ′ ≡ t ′ ∈ E i , dass s ′ ≡ E t ′ gilt. Damit ergibt
sich dies auch für alle s ≡ t ∈ E i+1 , da ≡ E eine Kongruenzrelation ist (Lemma 3.1.10).
Vollständigkeit:
Wir verzichten hier auf den Beweis der Vollständigkeit, da wir in Satz 3.2.12 eine
stärkere Aussage beweisen, aus der die Vollständigkeit von CC(E) sofort folgt. ✷
Eine erste Idee für ein Verfahren zur Lösung des Wortproblems bei Grundidentitäten
wäre also, sukzessive die Mengen E 0 ,E 1 ,... zu erzeugen, bis man eine Menge E i gefunden
hat, die die gesuchte Gleichung s ≡ t enthält. Der Kongruenzabschluss CC(E) ist aber
im allgemeinen unendlich, d.h., man hat im allgemeinen E i+1 ≠ E i . Beispielsweise gilt für
E aus Bsp. 3.2.2, dass i ≡ j ∈ E 0 , g(i) ≡ g(j) ∈ E 1 \ E 0 , g(g(i)) ≡ g(g(j)) ∈ E 2 \ E 1 ,
..., g n (i) ≡ g n (j) ∈ E n \ E n−1 , etc. Wenn die Gleichung s ≡ t daher nicht aus E folgt,
dann terminiert dieses Verfahren nicht. Es handelt sich also wieder bloß um ein Semi-
Entscheidungsverfahren.
Im Unterschied zum allgemeinen Wortproblem ist das Wortproblem bei Grundidentitäten
aber entscheidbar. Um z.B. festzustellen, dass im obigen Beispiel die Gleichung
i ≡ k nicht aus E folgt, stellt sich die Frage, ob man wirklich alle (unendlich vielen) Iterationen
E 0 ,E 1 ,... betrachten muss, oder ob es reicht, dafür nur endlich viele zu untersuchen.
Es stellt sich heraus, dass es bei Grundidentitäten E reicht, nur einen endlichen Suchraum
zu durchlaufen: Um herauszufinden, obs ≡ E t gilt, muss man nur die (endlich vielen) Terme
betrachten, die in der Menge E oder in den Eingabetermen s und t auftreten.
Definition 3.2.8 (Teiltermmenge) Zu jedem Term s sei Subterms(s) = {s| π | π ∈
Occ(s)} die Menge seiner Teilterme. Zu einer Menge von Gleichungen E definieren wir
Subterms(E) = ⋃
s≡t ∈ E
Subterms(s)∪Subterms(t).