Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...
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Man kann zeigen, dass der Kongruenzabschluss von E die kleinste Kongruenzrelation<br />
beschreibt, in der alle Gleichungen aus E gelten. Es ist offensichtlich, dass der Kongruenzabschluss<br />
nur Gleichungen enthält, die aus E folgen. Durch die obige Herleitung wird also<br />
wie gewünscht f(m) ≡ E g(k) bewiesen. In der Tat gilt aber auch der Umkehrschluss, d.h.,<br />
auf diese Weise erhält man alle Gleichungen, die aus E folgen.<br />
Satz 3.2.7 (Kongruenzabschluss ist korrekt <strong>und</strong> vollständig) Sei E eine Menge<br />
von Gr<strong>und</strong>identitäten über Σ <strong>und</strong> sei s,t ∈ T(Σ). Dann gilt s ≡ E t gdw. s ≡ t ∈ CC(E).<br />
Beweis.<br />
Korrektheit:<br />
Wir zeigen, dass für alle i ∈ IN aus s ≡ t ∈ E i die Aussage s ≡ E t folgt. Dann ergibt<br />
sich die Behauptung sofort, da CC(E) = ⋃ i∈IN E i.<br />
Hierzu verwenden wir Induktion über i. Im Induktionsanfang ist i = 0 <strong>und</strong>E 0 = E∪R.<br />
Somit ist hier die Aussage trivial.<br />
Im Induktionsschluss sei s ≡ t ∈ E i+1 = E i ∪S(E i )∪T(E i )∪C(E i ). Nach der Induktionshypothese<br />
folgt für alle Gleichungen s ′ ≡ t ′ ∈ E i , dass s ′ ≡ E t ′ gilt. Damit ergibt<br />
sich dies auch für alle s ≡ t ∈ E i+1 , da ≡ E eine Kongruenzrelation ist (Lemma 3.1.10).<br />
Vollständigkeit:<br />
Wir verzichten hier auf den Beweis der Vollständigkeit, da wir in Satz 3.2.12 eine<br />
stärkere Aussage beweisen, aus der die Vollständigkeit von CC(E) sofort folgt. ✷<br />
Eine erste Idee für ein Verfahren zur Lösung des Wortproblems bei Gr<strong>und</strong>identitäten<br />
wäre also, sukzessive die Mengen E 0 ,E 1 ,... zu erzeugen, bis man eine Menge E i gef<strong>und</strong>en<br />
hat, die die gesuchte Gleichung s ≡ t enthält. Der Kongruenzabschluss CC(E) ist aber<br />
im allgemeinen unendlich, d.h., man hat im allgemeinen E i+1 ≠ E i . Beispielsweise gilt für<br />
E aus Bsp. 3.2.2, dass i ≡ j ∈ E 0 , g(i) ≡ g(j) ∈ E 1 \ E 0 , g(g(i)) ≡ g(g(j)) ∈ E 2 \ E 1 ,<br />
..., g n (i) ≡ g n (j) ∈ E n \ E n−1 , etc. Wenn die Gleichung s ≡ t daher nicht aus E folgt,<br />
dann terminiert dieses Verfahren nicht. Es handelt sich also wieder bloß um ein Semi-<br />
Entscheidungsverfahren.<br />
Im Unterschied zum allgemeinen Wortproblem ist das Wortproblem bei Gr<strong>und</strong>identitäten<br />
aber entscheidbar. Um z.B. festzustellen, dass im obigen Beispiel die Gleichung<br />
i ≡ k nicht aus E folgt, stellt sich die Frage, ob man wirklich alle (unendlich vielen) Iterationen<br />
E 0 ,E 1 ,... betrachten muss, oder ob es reicht, dafür nur endlich viele zu untersuchen.<br />
Es stellt sich heraus, dass es bei Gr<strong>und</strong>identitäten E reicht, nur einen endlichen Suchraum<br />
zu durchlaufen: Um herauszufinden, obs ≡ E t gilt, muss man nur die (endlich vielen) Terme<br />
betrachten, die in der Menge E oder in den Eingabetermen s <strong>und</strong> t auftreten.<br />
Definition 3.2.8 (Teiltermmenge) Zu jedem Term s sei Subterms(s) = {s| π | π ∈<br />
Occ(s)} die Menge seiner Teilterme. Zu einer Menge von Gleichungen E definieren wir<br />
Subterms(E) = ⋃<br />
s≡t ∈ E<br />
Subterms(s)∪Subterms(t).