Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Beispiel 3.2.4 Für E aus Bsp. 3.2.2 und Σ = {i,j,k,l,m,f,g} erhält man
• R = {i ≡ i,j ≡ j,f(i) ≡ f(i),...}
• S(E) = {j ≡ i,l ≡ k,g(k) ≡ f(i),f(j) ≡ j,g(l) ≡ m}
• T(E) = {i ≡ f(j)}
• C(E) = {f(i) ≡ f(j),g(i) ≡ g(j),...}
Man erkennt, dass für eine Menge von Grundidentitäten E die Menge E ∪R∪S(E)∪
T(E)∪C(E) zwar lauter Gleichheiten enthält, die aus E folgen, aber sie enthält noch nicht
alle diese Gleichheiten. Beispielsweise kann es ja nötig sein, dass man bei der Anwendung
der Kongruenz auf Gleichheiten Bezug nimmt, die nicht aus E direkt stammen, sondern aus
R∪S(E)∪T(E)∪C(E). Mit anderen Worten, man muss die Anwendung der Symmetrie,
Transitivität und Kongruenz wiederholen und zwar (potentiell) unendlich oft. Dies führt zu
dem Begriff des Kongruenzabschlusses (engl. congruence closure).
Definition 3.2.5 (Kongruenzabschluss) Für jede Menge E von Grundidentitäten über
der Signatur Σ definieren wir die Mengen E 0 ,E 1 ,... wie folgt:
• E 0 = E ∪R
• E i+1 = E i ∪S(E i )∪T(E i )∪C(E i )
Der Kongruenzabschluss CC(E) von E ist definiert als der “Limes” der Folge E 0 ,E 1 ,...,
d.h., CC(E) = ⋃ i∈IN E i.
Beispiel 3.2.6 Es gilt f(m) ≡ g(k) ∈ E 9 ⊆ CC(E). Im folgenden Baum sind die Gleichungeninder
oberstenZeile in E 0 enthalten, diein der nächsten Zeile sind inE 1 , etc. DieStriche
geben jeweils an, aus welchen bisherigen Gleichungen sich die jeweilige nächste Gleichung
ergibt.
m ≡ g(l)
k ≡ l i ≡ j
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g(k) ≡ g(l) j ≡ i
❀ ❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀
❲ j ≡ f(j) f(i) ≡ g(k)
❲❲❲❲❲❲❲❲❲❲
i ≡ f(j)
f(j) ≡ f(i)
♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣
i ≡ f(i)
♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠
i ≡ g(k)
i ≡ g(l)
g(l) ≡ i
m ≡ i
f(m) ≡ f(i)
6 66666666666666666666666666666666666666666666666666666
f(m) ≡ g(k)