Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Anders ausgedrückt bedeutet dies, ob f(m) ≡ E g(k) gilt, wobei
E = {i ≡ j,k ≡ l,f(i) ≡ g(k),j ≡ f(j),m ≡ g(l)}
ist. (Um die Gleichungen im allgemeinen bestimmen zu können, muss man genau analysieren,
welche Werte durch Seiteneffekte etc. verändert wurden.) Hierbei sind i, j, k, l und m
nun Konstanten und f und g einstellige Funktionssymbole. (Die Variablen des Programms
entsprechen Konstanten, da die Frage ist, ob f[m] = g[k] für genau diese Werte von m und
k gilt und nicht, ob f[m] = g[k] für alle Werte von m und k gilt.) Hierdurch wird deutlich,
dass die Frage des Wortproblems über Grundidentitäten durchaus anwendungsrelevant ist.
Nach dem Satz von Birkhoff (Satz 3.1.14) wissen wir, dass die semantische Relation ≡ E
und die syntaktische Relation ↔ ∗ E identisch sind. Um f(m) ≡ E g(k) zu beweisen, können
wir also eine Herleitung mit Hilfe von ↔ ∗ E angeben. Beispielsweise kann man die Aussage
wie folgt beweisen:
f(m)
↔ E f(g(l)) mit m ≡ g(l)
↔ E f(g(k)) mit k ≡ l
↔ E f(f(i)) mit f(i) ≡ g(k)
↔ E f(f(j)) mit i ≡ j
↔ E f(j) mit j ≡ f(j)
↔ E f(i) mit i ≡ j
↔ E g(k) mit f(i) ≡ g(k)
Der Nachteil ist, dass wir bislang kein systematisches Verfahren haben, um die richtige Herleitung
automatisch zu finden. Insofern ist die Relation ↔ ∗ E für automatische Herleitungen
ungeeignet.
In diesem Abschnitt wollen wir ein Verfahren vorstellen, dass das Wortproblem über
Grundidentitäten automatisch löst. Unser Ziel ist also, die Menge aller Gleichungen s ≡ t
zu charakterisieren, die aus einer Menge von Grundidentitäten E folgen. Hierbei müssen
wir keine Substitutionen mehr betrachten, da wir nur noch Grundterme untersuchen. Aus
einer Menge von Grundidentitäten E folgen dann nur die Gleichungen, die sich aufgrund
der Reflexivität, Symmetrie, Transitivität und Kongruenz aus E ergeben. Dies führt zu den
folgenden Mengen, die sich durch direkte einmalige Anwendung dieser Gesetzmäßigkeiten
aus E ergeben.
Definition 3.2.3 (Direkte Anwendung von Reflexivität, Symmetrie, etc.)
Für jede Menge E von Grundidentitäten über der Signatur Σ definieren wir
• R = {t ≡ t | t ∈ T (Σ)}
• S(E) = {t ≡ s | s ≡ t ∈ E}
• T(E) = {s ≡ r | es existiert ein t ∈ T (Σ) mit s ≡ t ∈ E und t ≡ r ∈ E}
• C(E) = {f(s 1 ,...,s n ) ≡ f(t 1 ,...,t n ) | f ∈ Σ,s i ≡ t i ∈ E für alle 1 ≤ i ≤ n}