Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

i(i(n)) x ≡ f(x,e) σ = {x/i(i(n))}
f(i 2 (n),e) e ≡ f(x,i(x)) σ = {x/i 3 (n)}
f(i 2 (n),f(i 3 (n),i 4 (n))) f(x,f(y,z)) ≡ f(f(x,y),z) σ = {x/i 2 (n),y/i 3 (n),z/i 4 (n)}
f(f(i 2 (n),i 3 (n)),i 4 (n)) f(x,i(x)) ≡ e σ = {x/i 2 (n)}
f(e,i 4 (n)) x ≡ f(x,e) σ = {x/e}
f(f(e,e),i 4 (n)) f(f(x,y),z) ≡ f(x,f(y,z)) σ = {x/e,y/e,z/i 4 (n)}
f(e,f(e,i 4 (n))) e ≡ f(x,i(x)) σ = {x/i 2 (n)}
f(e,f(f(i 2 (n),i 3 (n)),i 4 (n))) f(f(x,y),z) ≡ f(x,f(y,z)) σ = {x/i 2 (n),y/i 3 (n),z/i 4 (n)}
f(e,f(i 2 (n),f(i 3 (n),i 4 (n)))) f(x,f(y,z)) ≡ f(f(x,y),z) σ = {x/e,y/i 2 (n),z/f(i 3 (n),i 4 (n))}
f(f(e,i 2 (n)),f(i 3 (n),i 4 (n))) f(x,i(x)) ≡ e σ = {x/i 3 (n)}
f(f(e,i 2 (n)),e) f(x,e) ≡ x σ = {x/f(e,i 2 (n))}
f(e,i 2 (n)) e ≡ f(x,i(x)) σ = {x/n}
f(f(n,i(n)),i 2 (n)) f(f(x,y),z) ≡ f(x,f(y,z)) σ = {x/n,y/i(n),z/i 2 (n)}
f(n,f(i(n),i 2 (n))) f(x,i(x)) ≡ e σ = {x/i(n)}
f(n,e) f(x,e) ≡ x σ = {x/n}
n
Aufgrund von Satz 3.1.14 ist man mit der Beweisrelation ↔ ∗ E in der Lage, das Wortproblem
s ≡ E t ohne Rückgriff auf semantische Begriffe zu beweisen. Von Vorteil ist dabei
insbesondere, dass der Nachweis von E |= s ≡ t systematisch geführt werden kann. Anders
gesagt, man kann nach einer Herleitung von s ≡ t so suchen, dass man immer erfolgreich
ist, wenn E |= s ≡ t tatsächlich gilt. Dies gilt, da ↔ ∗ E semi-entscheidbar (oder rekursiv
aufzählbar) ist. Es gibt also ein Verfahren, das bei der Eingabe von s und t mit Erfolg
terminiert, wenn s ↔ ∗ E t gilt. Wenn s ↔∗ E t hingegen nicht gilt, so kann es sein, dass das
Verfahren nicht terminiert.
Das Verfahren arbeitet wie folgt bei der Eingabe zweier Terme s und t. Falls s = t
gilt, so ist das Problem trivialerweise gelöst. Anderenfalls erzeugt man einen Suchbaum
folgender Art: Der Wurzelknoten n 0 wird mit s markiert. Für jeden Term u mit s ↔ E u
hat n 0 einen direkten Nachfolgerknoten n i , der mit u markiert ist. Genauso erhält man
alle Nachfolgerknoten von n i , etc. Wenn die Variablenbedingung V(t 1 ) = V(t 2 ) für alle
Gleichungen t 1 ≡ t 2 ∈ E gilt, so hat jeder Knoten nur endlich viele Nachfolger. (Denn es
gibt in jedem Term nur endlich viele Teilterme und endlich viele Gleichungen, die darauf
passen können. Das Verhalten des Matchers auf den Variablen der Gleichung ist eindeutig
festgelegt, wenn V(t 1 ) = V(t 2 ) gilt, siehe unten.)
Wenn u 1 ,...,u n die Folge der Knotenmarkierungen eines Pfades von der Wurzel zu einem
Knoten ist, so gilt u 1 ↔ E u 2 ↔ E ... ↔ E u n , d.h., u 1 ↔ ∗ E u n. Jeder Pfad des Suchbaums
repräsentiert also eine Herleitung und jede Herleitung wird als Pfad des Suchbaums nach
endlich vielen Schritten erzeugt. Das Verfahren endet mit Erfolg, falls ein Knoten mit Markierung
t gebildet wurde. Für E |= s ≡ t terminiert das Verfahren, für E ̸|= s ≡ t dagegen
nicht.
Für endliches E hat jeder Suchbaum endlichen Verzweigungsgrad, denn für jeden Term
s gibt es maximal |Occ(s)| × 2 × |E| Terme t mit s ↔ E t. Dies liegt an der geforderten
Variablenbedingung V(t 1 ) = V(t 2 ) für alle Gleichungen t 1 ≡ t 2 ∈ E. Mit s ↔ E t gilt
t 1 σ = s| π und t = s[t 2 σ] π für eine Gleichung t 1 ≡ t 2 oder t 2 ≡ t 1 aus E und damit ist σ