Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

die folgende Variablenbelegung:
β(x) = [x] ↔ ∗
E
.
Für I = (T(Σ,V)/ ↔ ∗
E
,α,β) mit α und β wie oben zeigt man leicht durch strukturelle
Induktion über den Aufbau der Terme, dass I(t) = [t] ↔ ∗
E
für alle t ∈ T(Σ,V) gilt.
Wie oben erläutert, gilt daher I |= s ≡ t gdw. s ↔ ∗ E t.
Wir müssen nun noch zeigen, dass die Algebra A = (T(Σ,V)/ ↔ ∗
E
,α) mit α wie oben
ein Modell des Gleichungssystems E ist. Dann folgt aus E |= s ≡ t nämlich A |= s ≡ t
und daher auch I |= s ≡ t, d.h., s ↔ ∗ E t.
Sei u ≡ v ∈ E. Zu zeigen ist, dass A |= u ≡ v gilt. Für jede Interpretation J =
(T(Σ,V)/ ↔ ∗
E
,α,γ) (d.h., für jede Variablenbelegung γ) muss also gelten J(u) = J(v).
Für x ∈ V ist also γ(x) ∈ T (Σ,V)/ ↔ ∗
E
= {[s] ↔ ∗
E
| s ∈ T (Σ,V)}. Für jede Variable
x sei s x ein Term aus der Äquivalenzklasse γ(x), d.h., γ(x) = [s x ] ↔ ∗
E
. Weiterhin
sei σ die Substitution mit xσ = s x für alle Variablen x, die in E auftreten.
Dann gilt für alle Terme t in den Gleichungen E, dass J(t) = [tσ] ↔ ∗
E
. (Dies
lässt sich sofort durch strukturelle Induktion zeigen: Falls t eine Variable x aus
E ist, so gilt J(x) = γ(x) = [s x ] ↔ ∗
E
= [xσ] ↔ ∗
E
. Falls t = f(t 1 ,...,t n ) ist (mit
n ≥ 0), so gilt J(f(t 1 ,...,t n )) = α f (J(t 1 ),...,J(t n )) = α f ([t 1 σ] ↔ ∗
E
,...,[t n σ] ↔ ∗
E
) =
[f(t 1 ,...,t n )σ] ↔ ∗
E
nach der Induktionshypothese.)
Zu zeigen war, dass für jede Gleichung u ≡ v aus E jeweils J(u) = J(v) gilt, d.h.,
[uσ] ↔ ∗
E
= [vσ] ↔ ∗
E
bzw. uσ ↔ ∗ E vσ. Dies folgt aus u ↔∗ E v (denn u ↔ E v) und der
Abgeschlossenheit von ↔ ∗ E unter Substitutionen (Lemma 3.1.13 (a)). ✷
Damit haben wir also nun ein syntaktisches Hilfsmittel zur Verfügung, um semantische
Aussagen nachzuweisen, d.h., um das Wortproblem zu lösen. In Bsp. 3.1.12 haben wir z.B.
die Gleichung plus(succ(succ(O)),x) ≡ plus(succ(O),succ(x)) aus den beiden Axiomen für
plus (Bsp. 2.1.6) hergeleitet. Nach dem Satz von Birkhoff (dem “Korrektheits”-Teil) bedeutetdies,
dassdiese Aussagedannauchtatsächlich ausdenAxiomenfolgt(d.h. insbesondere,
dass diese Aussage für das funktionale Programm, das aus diesen beiden Axiomen besteht,
stimmt). Der Satz von Birkhoff sagt aber auch (im “Vollständigkeits”-Teil), dass man jede
wahre Aussage auf diese Art und Weise beweisen kann. Wenn eine Gleichung aus einem
Gleichungssystem folgt, so gibt es also auch eine Herleitung, mit der man sie beweisen kann.
Mit diesem Verfahren wollen wir nun zeigen, dass in der Tat in allen Gruppen die inverse
Funktion selbstinvers ist.
Beispiel 3.1.15 SeiE = {(2.1),(2.2),(2.3)}dasGleichungssystem derGruppenaxiomeaus
Bsp. 2.1.7. Wir wollen zeigen, dass i(i(n)) ≡ E n für alle Elemente n gilt. Nach dem Satz von
Birkhoff genügt es hierfür, i(i(n)) ↔ ∗ E n zu zeigen und falls dieser Satz tatsächlich wahr ist,
muss es auch eine entsprechende solche Herleitung geben. Die Stellen, an denen Teilterme
ersetzt werden, sind wieder durch Unterstreichung markiert. Gleichungen werden “von links
nach rechts” angewendet und werden deshalb wieder je nach Bedarf als t 1 ≡ t 2 oder t 2 ≡ t 1
geschrieben.