Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Im Induktionsanfang ist n = 0. Hier gilt s = t und s ≡ E t folgt aus der Reflexivität
von ≡ E (Lemma 3.1.10).
Im Induktionsschluss ist n > 0 und aus der Induktionshypothese folgt bereits s ≡ E
s n−1 . Da s n−1 ↔ E s n = t gilt und da ↔ E (wie oben gezeigt) in ≡ E enthalten ist,
folgt s n−1 ≡ E s n = t. Aus der Transitivität von ≡ E (Lemma 3.1.10) ergibt sich daher
s ≡ E t.
Vollständigkeit:
Nun zeigen wir, dass aus s ≡ E t auch s ↔ ∗ E t folgt. Die Aussage s ≡ E t bedeutet, dass
A |= s ≡ tfüralleModelleAvonE gilt.UnserZielistnun,solcheinModellA = (A,α)
von E und eine Variablenbelegung β zu definieren, so dass für die Interpretation
I = (A,α,β) der Zusammenhang I |= s ≡ t genau dann zutrifft, wenn s ↔ ∗ E t gilt.
Eine erste Idee ist, als Träger A die Menge der Terme T(Σ,V) zu wählen und jeden
Term als “sich selbst” zu interpretieren. Dazu müsste α f = f für alle Funktionssymbole
f ∈ Σ sein und β(x) = x für alle Variablen x. Durch strukturelle Induktion
über den Termaufbau zeigt man leicht, dass dann I(t) = t für alle Terme t ∈ T(Σ,V)
ist. Das Problem hierbei wäre aber, dass zwei verschiedene Terme s und t, die unter
↔ ∗ E äquivalent sind, hierbei als verschiedene Objekte des Trägers interpretiert werden
würden.
Daher werden wir den Träger etwas anders wählen. Hierbei ist es wichtig, dass die
Relation ↔ ∗ E eine Äquivalenzrelation ist (Lemma 3.1.13). Zu jeder Äquivalenzrelation
und jedem Objekt bezeichnet die Äquivalenzklasse des Objekts die Menge all jener
Objekte, zu denen dieses Objekt äquivalent ist. Inunserem Beispiel ist zu jedem Term
s die Äquivalenzklasse [s] ↔ ∗
E
definiert als [s] ↔ ∗
E
= {t|s ↔ ∗ E t}. Da ↔∗ E eine Äquivalenzrelation
ist, sind zwei Äquivalenzklassen [s] ↔ ∗
E
und [t] ↔ ∗
E
entweder identisch oder
disjunkt. Die Menge aller Äquivalenzklassen wird als Quotientenmenge bezeichnet. In
unserem Fall zerfällt die Menge der Terme T (Σ,V) also in mehrere Äquivalenzklassen
und die Quotientenmenge ist T(Σ,V)/ ↔ ∗
E
= {[s] ↔ ∗
E
| s ∈ T(Σ,V)}.
Unser Ziel ist nun, die Interpretation I so zu wählen, dass jeder Term t als seine
Äquivalenzklasse interpretiert wird, d.h., wir wollen erreichen, dass I(t) = [t] ↔ ∗
E
gilt.
Dann gilt in der Tat I |= s ≡ t gdw. I(s) = I(t) gdw. [s] ↔ ∗
E
= [t] ↔ ∗
E
gdw. s ↔ ∗ E t.
Der Träger A muss also als die Quotientenmenge T(Σ,V)/ ↔ ∗
E
gewählt werden, d.h.,
als die Menge aller ↔ ∗ E -Äquivalenzklassen. Für alle Terme f(t 1 ,...,t n ) soll gelten,
dass I(f(t 1 ,...,t n )) = α f (I(t 1 ),...,I(t n )) = [f(t 1 ,...,t n )] ↔ ∗
E
ist. Wenn schon I(t i ) =
[t i ] ↔ ∗
E
ist, dann ergibt sich folgende Definition von α f für alle f ∈ Σ und alle [t i ] ↔ ∗
E
∈
T(Σ,V)/ ↔ ∗
E
:
α f ([t 1 ] ↔ ∗
E
,...,[t n ] ↔ ∗
E
) = [f(t 1 ,...,t n )] ↔ ∗
E
.
Man beachte, dass α f dann tatsächlich eine wohldefinierte Funktion ist, denn es ist
unerheblich, welchen Term aus der Äquivalenzklasse der [t i ] ↔ ∗
E
man verwendet, um
die Äquivalenzklasse [f(t 1 ,...,t n )] ↔ ∗
E
zu bilden. Wenn nämlich t i ↔ ∗ E s i für alle i
gilt, so gilt auch f(t 1 ,...,t n ) ↔ ∗ E f(s 1,...,s n ), denn ↔ ∗ E ist eine Kongruenzrelation
(Lemma 3.1.13). Damit auch bei Variablen x jeweils I(x) = [x] ↔ ∗
E
gilt, definieren wir