Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

deshalb je nach Bedarf als t 1 ≡ t 2 oder t 2 ≡ t 1 geschrieben. Wir kürzen dabei succ(succ(x))
durch succ 2 (x) ab, etc.
plus(succ 2 (O),x) plus(succ(x),y) ≡ succ(plus(x,y)) σ = {x/succ(O),y/x}
succ(plus(succ(O),x)) plus(succ(x),y) ≡ succ(plus(x,y)) σ = {x/O,y/x}
succ 2 (plus(O,x)) plus(O,y) ≡ y σ = {y/x}
succ(succ(x)) y ≡ plus(O,y) σ = {y/succ(x)}
succ(plus(O,succ(x))) succ(plus(x,y)) ≡ plus(succ(x),y) σ = {x/O,y/succ(x)}
plus(succ(O),succ(x))
Man erkennt hierbei auch, dass die Namen der Variablen in den Gleichungen E sowohl
für die Relation ≡ E wie für die Beweisrelation ↔ ∗ E unerheblich sind. Der Grund ist, dass
die Variablen implizit als allquantifiziert betrachtet werden. Die Gleichung plus(O,y) ≡ y
könnte also auch durch plus(O,z) ≡ z ersetzt werden.
Die Relation ↔ ∗ E ist auf rein syntaktische Weise definiert und somit bedeutet “E ⊢ s ≡
t”, dass die Gleichung s ≡ t mit syntaktischen Mitteln aus E hergeleitet wird. Hingegen
bedeutet “E |= s ≡ t” bzw. “s ≡ E t”, dass die Gleichung s ≡ t in allen Modellen von E gilt.
Dies ist daher eine semantische Aussage, die sich so nicht direkt überprüfen lässt. Unser Ziel
ist daher, das Wortproblem mit Hilfe der Beweisrelation ↔ ∗ E anstelle von ≡ E zu überprüfen.
Hierzu muss man natürlich untersuchen, inwieweit s ↔ ∗ E t und s ≡ E t zusammenhängen.
Wir wissen bereits, dass ≡ E eine Kongruenzrelation ist, die sowohl unter Substitutionen
wie auch unter Kontexten abgeschlossen ist. Dies trifft offensichtlich auch auf ↔ ∗ E zu.
Lemma 3.1.13 (↔ ∗ E stabile und monotone Kongruenzrelation) Sei E ein Gleichungssystem,
seien s,t,q ∈ T (Σ,V), π ∈ Occ(q) und σ eine Substitution. Dann ist ↔ ∗ E
eine Äquivalenz- und Kongruenzrelation und es gilt:
(a) Falls s → E t, dann auch sσ → E tσ und falls s ↔ ∗ E t, dann auch sσ ↔∗ E
Relationen → E und ↔ ∗ E sind also abgeschlossen unter Substitutionen.
tσ. Die
(b) Falls s → E t, dann auch q[s] π → E q[t] π und falls s ↔ ∗ E t, dann auch q[s] π ↔ ∗ E q[t] π.
Die Relationen → E und ↔ ∗ E sind also abgeschlossen unter Kontexten.
Beweis. Die Reflexivität und Transitivität folgen sofort aus der Definition, da ↔ ∗ E die
transitiv-reflexive Hülle von ↔ E ist. Die Relation ↔ E ist nach Definition symmetrisch.
Dann ist auch ↔ ∗ E symmetrisch, denn aus s ↔∗ E t folgt, dass es s 0,...,s n (mit n ≥ 0) gibt,
so dass s = s 0 ↔ E s 1 ↔ E ... ↔ E s n = t. Aufgrund der Symmetrie von ↔ E folgt dann
t = s n ↔ E ... ↔ E s 1 = s, d.h., t ↔ ∗ E s. (Formal ist hier eine Induktion über die Länge der
Herleitung nötig.) Somit ist ↔ ∗ E eine Äquivalenzrelation.
(a) Wir zeigen zunächst, dass → E unter Substitutionen abgeschlossen ist. Aus s → E t
folgt, dass es ein τ ∈ Occ(s) und eine Substitution θ gibt mit s| τ = t 1 θ und t =
s[t 2 θ] τ für eine Gleichung t 1 ≡ t 2 aus E. Damit gilt sσ| τ = s| τ σ = t 1 θσ und tσ =
s[t 2 θ] τ σ = sσ[t 2 θσ] τ . Wenn σ ′ die Substitution θσ ist (d.h., die Komposition der
beiden Substitutionen, bei der erst θ und dann σ angewendet wird), dann folgt also