Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Lemma 3.1.10 (≡ E ist Äquivalenz- und Kongruenzrelation) Für alle Gleichungssysteme
E ist ≡ E eine Äquivalenz- und Kongruenzrelation.
Beweis. Für alle Terme t 1 ,t 2 ,t 3 und alle Algebren A gilt:
• A |= t 1 ≡ t 1
• Falls A |= t 1 ≡ t 2 , dann A |= t 2 ≡ t 1 .
• Falls A |= t 1 ≡ t 2 und A |= t 2 ≡ t 3 , dann A |= t 1 ≡ t 3 .
Der Grund ist, dass A |= s ≡ t jeweils Gleichheit von I(s) und I(t) unter entsprechenden
Interpretationen I bedeutet und die Gleichheit ist eine Äquivalenzrelation.
Da die obigen Aussagen dann insbesondere auch für jedes Modell A von E gelten, ist
≡ E eine Äquivalenzrelation.
Da ≡ E monoton ist (Lemma 3.1.8), folgt aus s 1 ≡ E t 1 ,...,s n ≡ E t n :
f(s 1 ,s 2 ,...,s n ) ≡ E f(t 1 ,s 2 ,...,s n ) ≡ E ... ≡ E f(t 1 ,...,t n−1 ,s n ) ≡ E f(t 1 ,...,t n ).
Aus der Transitivität von ≡ E ergibt sich nun auch, dass ≡ E eine Kongruenzrelation ist. ✷
UnserZielistnun,s ≡ E tohneRückgriffaufdieSemantikuntersuchenzukönnen.Hierzu
definieren wir eine rein syntaktische Ersetzungs- und Beweisrelation. Diese ermöglicht es,
Aussagen wie s ≡ E t auch automatisch zu beweisen. Die Grundlage für diesen (und die
späteren) Deduktionsmechanismen ist das Prinzip, Gleiches durch Gleiches zu ersetzen.
Definition 3.1.11 (Ersetzungsrelation, Beweisrelation, Herleitung) Für ein Gleichungssystem
E ist die Ersetzungsrelation → E ⊆ T(Σ,V)×T(Σ,V) definiert durch
s → E t gdw. s| π = t 1 σ und t = s[t 2 σ] π
für eine Stelle π ∈ Occ(s), eine Gleichung t 1 ≡ t 2 ∈ E und ein σ ∈ SUB(Σ,V).
Die Relation ↔ ∗ E⊆ T(Σ,V) × T(Σ,V) heißt die Beweisrelation von E und bezeichnet
die transitiv-reflexiv-symmetrische Hülle von → E . Wir sagen, die Gleichung s ≡ t ist aus
E herleitbar (geschrieben “E ⊢ s ≡ t”), falls s ↔ ∗ E t.
Eine Herleitung besteht immer aus (null oder mehreren) ↔ E -Schritten. Die Aussage
s ↔ ∗ E t bedeutet also, dass es s 0,...,s n (mit n ≥ 0) gibt, so dass s = s 0 ↔ E s 1 ↔ E ... ↔ E
s n = t gilt. Hierbei besagt s i ↔ E s i+1 , dass es einen Teilterm s i | π gibt, so dass eine Seite
t 1 einer Gleichung t 1 ≡ t 2 oder t 2 ≡ t 1 aus E diesen Teilterm matcht. Es gibt also einen
Matcher σ, so dass t 1 σ = s i | π ist. Der Term s i+1 entsteht dann aus s i , indem dieser Teilterm
durch die entsprechend instantiierte andere Seite t 2 σ der Gleichung ersetzt wird.
Beispiel 3.1.12 Es gilt plus(succ(succ(O)),x) ↔ ∗ E plus(succ(O),succ(x)). Man erhält für
die Gleichung plus(succ(succ(O)),x) ≡ plus(succ(O),succ(x)) folgende Herleitung aus den
Axiomen von Bsp. 2.1.6. Die Stellen, an denen Teilterme ersetzt werden, sind durch Unterstreichung
markiert. Gleichungen werden “von links nach rechts” angewendet und werden