Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Um weitere Eigenschaften von Relationen wie ≡ E beschreiben zu können, benötigen wir
die folgenden bekannten Begriffe über Relationen.
Definition 3.1.9 (Äquivalenzrelation, Kongruenzrelation) Sei M eine Menge und
→ eine Relation mit → ⊆ M ×M (d.h., → ist eine Relation “über” oder “auf” M). Man
sagt auch, (M,→) ist ein (abstraktes) Reduktionssystem (ARS). Die Relation → heißt
• reflexiv, falls t → t für alle t ∈ M gilt
• symmetrisch, falls aus t 1 → t 2 jeweils t 2 → t 1 für alle t 1 ,t 2 ∈ M folgt
• transitiv, falls aus t 1 → t 2 und t 2 → t 3 jeweils t 1 → t 3 für alle t 1 ,t 2 ,t 3 ∈ M folgt
• Äquivalenzrelation, falls → reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
Die Relation → = (die reflexive Hülle von →) ist die kleinste reflexive Relation, die →
enthält, d.h., die kleinste Relation, so dass für alle t 1 ,t 2 ∈ M gilt
• wenn t 1 → t 2 , dann t 1 → = t 2
• t 1 → = t 1
und
Die Relation → + (die transitive Hülle von →) ist die kleinste transitive Relation, die →
enthält, d.h., die kleinste Relation, so dass für alle t 1 ,t 2 ,t 3 ∈ M gilt
• wenn t 1 → t 2 , dann t 1 → + t 2
und
• wenn t 1 → t 2 → + t 3 , dann t 1 → + t 3
Die Relation → ∗ (die transitiv-reflexive Hülle von →) ist die kleinste transitive und reflexive
Relation, die → enthält, d.h., die kleinste Relation, so dass für alle t 1 ,t 2 ,t 3 ∈ M gilt
• wenn t 1 → + t 2 , dann t 1 → ∗ t 2
• t 1 → ∗ t 1 .
und
Die Relation ↔ ist die symmetrische Hülle von →, d.h., es gilt t 1 ↔ t 2 gdw. t 1 → t 2 oder
t 2 → t 1 . Die Relation ↔ ∗ (die transitiv-reflexiv-symmetrische Hülle von →) ist demnach
die kleinste Äquivalenzrelation, die → enthält.
Eine Äquivalenzrelation → über Termen T (Σ,V) heißt Kongruenzrelation, wenn für alle
f ∈ Σ und s 1 ,...,s n ,t 1 ,...,t n ∈ T (Σ,V) mit s 1 → t 1 ,...,s n → t n auch f(s 1 ,...,s n ) →
f(t 1 ,...,t n ) gilt.
Generell bedeutet s → + t also, dass es s 0 ,...,s n mit n > 0 gibt, so dass
s = s 0 → s 1 → ... → s n = t
gilt. Die Bedeutung von s → ∗ t ist analog, nur ist hier n = 0 möglich. Wir schreiben auch
→ n für eine n-fache “Hintereinanderanwendung” der Relation →, d.h., s → n t gdw. es
s 1 ,...,s n−1 gibt mit s → s 1 → s 2 → ... → s n−1 → t.
Neben der Abgeschlossenheit unter Substitutionen und Kontexten kann man nun leicht
die folgende Aussage über ≡ E zeigen.