Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...
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Um weitere Eigenschaften von Relationen wie ≡ E beschreiben zu können, benötigen wir<br />
die folgenden bekannten Begriffe über Relationen.<br />
Definition 3.1.9 (Äquivalenzrelation, Kongruenzrelation) Sei M eine Menge <strong>und</strong><br />
→ eine Relation mit → ⊆ M ×M (d.h., → ist eine Relation “über” oder “auf” M). Man<br />
sagt auch, (M,→) ist ein (abstraktes) Reduktionssystem (ARS). Die Relation → heißt<br />
• reflexiv, falls t → t für alle t ∈ M gilt<br />
• symmetrisch, falls aus t 1 → t 2 jeweils t 2 → t 1 für alle t 1 ,t 2 ∈ M folgt<br />
• transitiv, falls aus t 1 → t 2 <strong>und</strong> t 2 → t 3 jeweils t 1 → t 3 für alle t 1 ,t 2 ,t 3 ∈ M folgt<br />
• Äquivalenzrelation, falls → reflexiv, symmetrisch <strong>und</strong> transitiv ist.<br />
Die Relation → = (die reflexive Hülle von →) ist die kleinste reflexive Relation, die →<br />
enthält, d.h., die kleinste Relation, so dass für alle t 1 ,t 2 ∈ M gilt<br />
• wenn t 1 → t 2 , dann t 1 → = t 2<br />
• t 1 → = t 1<br />
<strong>und</strong><br />
Die Relation → + (die transitive Hülle von →) ist die kleinste transitive Relation, die →<br />
enthält, d.h., die kleinste Relation, so dass für alle t 1 ,t 2 ,t 3 ∈ M gilt<br />
• wenn t 1 → t 2 , dann t 1 → + t 2<br />
<strong>und</strong><br />
• wenn t 1 → t 2 → + t 3 , dann t 1 → + t 3<br />
Die Relation → ∗ (die transitiv-reflexive Hülle von →) ist die kleinste transitive <strong>und</strong> reflexive<br />
Relation, die → enthält, d.h., die kleinste Relation, so dass für alle t 1 ,t 2 ,t 3 ∈ M gilt<br />
• wenn t 1 → + t 2 , dann t 1 → ∗ t 2<br />
• t 1 → ∗ t 1 .<br />
<strong>und</strong><br />
Die Relation ↔ ist die symmetrische Hülle von →, d.h., es gilt t 1 ↔ t 2 gdw. t 1 → t 2 oder<br />
t 2 → t 1 . Die Relation ↔ ∗ (die transitiv-reflexiv-symmetrische Hülle von →) ist demnach<br />
die kleinste Äquivalenzrelation, die → enthält.<br />
Eine Äquivalenzrelation → über Termen T (Σ,V) heißt Kongruenzrelation, wenn für alle<br />
f ∈ Σ <strong>und</strong> s 1 ,...,s n ,t 1 ,...,t n ∈ T (Σ,V) mit s 1 → t 1 ,...,s n → t n auch f(s 1 ,...,s n ) →<br />
f(t 1 ,...,t n ) gilt.<br />
Generell bedeutet s → + t also, dass es s 0 ,...,s n mit n > 0 gibt, so dass<br />
s = s 0 → s 1 → ... → s n = t<br />
gilt. Die Bedeutung von s → ∗ t ist analog, nur ist hier n = 0 möglich. Wir schreiben auch<br />
→ n für eine n-fache “Hintereinanderanwendung” der Relation →, d.h., s → n t gdw. es<br />
s 1 ,...,s n−1 gibt mit s → s 1 → s 2 → ... → s n−1 → t.<br />
Neben der Abgeschlossenheit unter Substitutionen <strong>und</strong> Kontexten kann man nun leicht<br />
die folgende Aussage über ≡ E zeigen.