Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

(1) ǫ ∈ IN ∗ und
(2) iπ ′ ∈ IN ∗ , falls i ∈ IN und π ′ ∈ IN ∗ .
Alternativ kann man im Induktionsschluss auch die Aussage für alle Positionen der Gestalt
π ′ i zeigen und sie jeweils für π ′ als Induktionshypothese voraussetzen.
Lemma 3.1.8 (≡ E monoton) Seien s,t,q ∈ T(Σ,V) und π ∈ Occ(q). Dann gilt:
(a) Für alle Σ-Algebren A gilt: Falls A |= s ≡ t, dann A |= q[s] π ≡ q[t] π .
(b) Für alle Gleichungssysteme E gilt: Falls s ≡ E t, dann auch q[s] π ≡ E q[t] π . Die Relation
≡ E ist also abgeschlossen unter Kontexten.
Beweis.
(a) DerBeweis wirddurchstrukturelle Induktionüber denAufbauder Positionπ geführt.
Die Aussage ϕ(π), die wir hier also betrachten, ist
“Für alle A,s,t,q mit π ∈ Occ(q) gilt: Falls A |= s ≡ t, dann A |= q[s] π ≡ q[t] π .”
Im Induktionsanfang ist π = ǫ. Hier ist q[s] ǫ = s, q[t] ǫ = t und somit gilt die Aussage
trivialerweise.
Im Induktionsschluss betrachten wir Stellen der Art π = iπ ′ und setzen als Induktionshypothese
voraus, dass die Aussage bereits für π ′ gilt. Da π ∈ Occ(q) gelten
muss, hat q die Gestalt f(q 1 ,...,q i ,...,q n ) und π ′ ∈ Occ(q i ). Damit gilt q[s] π =
f(q 1 ,...,q i [s] π ′,...,q n ) und q[t] π = f(q 1 ,...,q i [t] π ′,...,q n ).
Sei A = (A,α) mit A |= s ≡ t. Zu zeigen ist, dass für alle Interpretationen I =
(A,α,β) mit beliebiger Variablenbelegung β jeweils I |= f(q 1 ,...,q i [s] π ′,...,q n ) ≡
f(q 1 ,...,q i [t] π ′,...,q n ) gilt. Dies ist gleichbedeutend mit α f (I(q 1 ),...,I(q i [s] π ′),
...,I(q n )) = α f (I(q 1 ),...,I(q i [t] π ′),...,I(q n )). Hierzu genügt es, zu zeigen, dass
I(q i [s] π ′) = I(q i [t] π ′) ist. Aus A |= s ≡ t folgt aber nach der Induktionshypothese
bereits A |= q i [s] π ′ ≡ q i [t] π ′ und somit auch I(q i [s] π ′) = I(q i [t] π ′).
Die Induktionshypothese ϕ(π ′ ) lautet nämlich wie folgt:
“Für alle A,s,t,q mit π ′ ∈ Occ(q) gilt: Falls A |= s ≡ t, dann A |= q[s] π ′ ≡ q[t] π ′.”
Da dies für alle A,s,t,q gilt (diese A,s,t,q müssen also nicht mit den oben gewählten
übereinstimmen), kann man ϕ(π ′ ) umformulieren zu
“Für alle A,s,t,q ′ mit π ′ ∈ Occ(q ′ ) gilt: Falls A |= s ≡ t, dann A |= q ′ [s] π ′ ≡ q ′ [t] π ′.”
Wählt man als q ′ den Term q i , so folgt wie erwünscht A |= q i [s] π ′ ≡ q i [t] π ′.
(b) Sei s ≡ E t, d.h., E |= s ≡ t. Dann gilt A |= s ≡ t für alle Modelle A von E. Nach
Teil (a) gilt dann auch A |= q[s] π ≡ q[t] π für alle Modelle A von E und demnach
E |= q[s] π ≡ q[t] π , d.h., q[s] π ≡ E q[t] π .
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