Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...
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(1) ǫ ∈ IN ∗ <strong>und</strong><br />
(2) iπ ′ ∈ IN ∗ , falls i ∈ IN <strong>und</strong> π ′ ∈ IN ∗ .<br />
Alternativ kann man im Induktionsschluss auch die Aussage für alle Positionen der Gestalt<br />
π ′ i zeigen <strong>und</strong> sie jeweils für π ′ als Induktionshypothese voraussetzen.<br />
Lemma 3.1.8 (≡ E monoton) Seien s,t,q ∈ T(Σ,V) <strong>und</strong> π ∈ Occ(q). Dann gilt:<br />
(a) Für alle Σ-Algebren A gilt: Falls A |= s ≡ t, dann A |= q[s] π ≡ q[t] π .<br />
(b) Für alle Gleichungssysteme E gilt: Falls s ≡ E t, dann auch q[s] π ≡ E q[t] π . Die Relation<br />
≡ E ist also abgeschlossen unter Kontexten.<br />
Beweis.<br />
(a) DerBeweis wirddurchstrukturelle Induktionüber denAufbauder Positionπ geführt.<br />
Die Aussage ϕ(π), die wir hier also betrachten, ist<br />
“Für alle A,s,t,q mit π ∈ Occ(q) gilt: Falls A |= s ≡ t, dann A |= q[s] π ≡ q[t] π .”<br />
Im Induktionsanfang ist π = ǫ. Hier ist q[s] ǫ = s, q[t] ǫ = t <strong>und</strong> somit gilt die Aussage<br />
trivialerweise.<br />
Im Induktionsschluss betrachten wir Stellen der Art π = iπ ′ <strong>und</strong> setzen als Induktionshypothese<br />
voraus, dass die Aussage bereits für π ′ gilt. Da π ∈ Occ(q) gelten<br />
muss, hat q die Gestalt f(q 1 ,...,q i ,...,q n ) <strong>und</strong> π ′ ∈ Occ(q i ). Damit gilt q[s] π =<br />
f(q 1 ,...,q i [s] π ′,...,q n ) <strong>und</strong> q[t] π = f(q 1 ,...,q i [t] π ′,...,q n ).<br />
Sei A = (A,α) mit A |= s ≡ t. Zu zeigen ist, dass für alle Interpretationen I =<br />
(A,α,β) mit beliebiger Variablenbelegung β jeweils I |= f(q 1 ,...,q i [s] π ′,...,q n ) ≡<br />
f(q 1 ,...,q i [t] π ′,...,q n ) gilt. Dies ist gleichbedeutend mit α f (I(q 1 ),...,I(q i [s] π ′),<br />
...,I(q n )) = α f (I(q 1 ),...,I(q i [t] π ′),...,I(q n )). Hierzu genügt es, zu zeigen, dass<br />
I(q i [s] π ′) = I(q i [t] π ′) ist. Aus A |= s ≡ t folgt aber nach der Induktionshypothese<br />
bereits A |= q i [s] π ′ ≡ q i [t] π ′ <strong>und</strong> somit auch I(q i [s] π ′) = I(q i [t] π ′).<br />
Die Induktionshypothese ϕ(π ′ ) lautet nämlich wie folgt:<br />
“Für alle A,s,t,q mit π ′ ∈ Occ(q) gilt: Falls A |= s ≡ t, dann A |= q[s] π ′ ≡ q[t] π ′.”<br />
Da dies für alle A,s,t,q gilt (diese A,s,t,q müssen also nicht mit den oben gewählten<br />
übereinstimmen), kann man ϕ(π ′ ) umformulieren zu<br />
“Für alle A,s,t,q ′ mit π ′ ∈ Occ(q ′ ) gilt: Falls A |= s ≡ t, dann A |= q ′ [s] π ′ ≡ q ′ [t] π ′.”<br />
Wählt man als q ′ den Term q i , so folgt wie erwünscht A |= q i [s] π ′ ≡ q i [t] π ′.<br />
(b) Sei s ≡ E t, d.h., E |= s ≡ t. Dann gilt A |= s ≡ t für alle Modelle A von E. Nach<br />
Teil (a) gilt dann auch A |= q[s] π ≡ q[t] π für alle Modelle A von E <strong>und</strong> demnach<br />
E |= q[s] π ≡ q[t] π , d.h., q[s] π ≡ E q[t] π .<br />
✷