Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Falls t eine Konstante c ∈ Σ 0 ist, so gilt
I(cσ) = I(c) = α c = I ′ (c) = I ′ (cσ).
Im Induktionsschluss betrachten wir Terme der Art t = f(t 1 ,...,t n ) mit n > 0
und setzen als Induktionshypothese voraus, dass die Aussage bereits für die direkten
Teilterme t 1 ,...,t n von t gilt. Die Induktionshypothesen sind also die Aussagen
ϕ(t 1 ),...,ϕ(t n ). Nun gilt
I(tσ) = I(f(t 1 σ,...,t n σ)) = α f (I(t 1 σ),...,I(t n σ)).
Aus der Induktionshypothese folgt I(t i σ) = I ′ (t i ). Man erhält daher
(b) Es gilt
nach Teil (a).
α f (I(t 1 σ),...,I(t n σ))
= α f (I ′ (t 1 ),...,I ′ (t n ))
= I ′ (f(t 1 ,...,t n ))
= I ′ (t).
I |= sσ ≡ tσ gdw. I(sσ) = I(tσ)
gdw. I ′ (s) = I ′ (t)
gdw. I ′ |= s ≡ t
(c) Sei A = (A,α). Zu zeigen ist, dass jede Interpretation I = (A,α,β) (d.h., für jede
Variablenbelegung β) die Gleichung sσ ≡ tσ erfüllt. Zu jeder solchen Interpretation
sei I ′ = (A,α,β ′ ) mit β ′ (x) = I(xσ) für alle x ∈ V. Aus A |= s ≡ t folgt I ′ |= s ≡ t,
was nach Teil (b) äquivalent ist zu I |= sσ ≡ tσ.
(d) Sei s ≡ E t, d.h., E |= s ≡ t. Dann gilt A |= s ≡ t für alle Modelle A von E. Nach Teil
(c) gilt dann auch A |= sσ ≡ tσ für alle Modelle A von E und demnach E |= sσ ≡ tσ,
d.h., sσ ≡ E tσ.
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Nun definieren wir, wie man die Teilterme eines Terms adressieren und gegebenenfalls
ersetzen kann. Hierzu verwenden wir das Konzept der Stellen von Termen..
Definition 3.1.5 (Stelle) Für einen Term t ist Occ(t) die Menge aller Stellen (oder “Positionen”)
von t, wobei Occ(t) die kleinste Teilmenge von IN ∗ ist mit
• ǫ ∈ Occ(t) und
• iπ ∈ Occ(t), falls t = f(t 1 ,...,t n ), 1 ≤ i ≤ n und π ∈ Occ(t i ).
Für einen Term t mit π ∈ Occ(t) bezeichnet t| π den Teilterm von t an der Stelle π,
wobei