Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...
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Falls t eine Konstante c ∈ Σ 0 ist, so gilt<br />
I(cσ) = I(c) = α c = I ′ (c) = I ′ (cσ).<br />
Im Induktionsschluss betrachten wir Terme der Art t = f(t 1 ,...,t n ) mit n > 0<br />
<strong>und</strong> setzen als Induktionshypothese voraus, dass die Aussage bereits für die direkten<br />
Teilterme t 1 ,...,t n von t gilt. Die Induktionshypothesen sind also die Aussagen<br />
ϕ(t 1 ),...,ϕ(t n ). Nun gilt<br />
I(tσ) = I(f(t 1 σ,...,t n σ)) = α f (I(t 1 σ),...,I(t n σ)).<br />
Aus der Induktionshypothese folgt I(t i σ) = I ′ (t i ). Man erhält daher<br />
(b) Es gilt<br />
nach Teil (a).<br />
α f (I(t 1 σ),...,I(t n σ))<br />
= α f (I ′ (t 1 ),...,I ′ (t n ))<br />
= I ′ (f(t 1 ,...,t n ))<br />
= I ′ (t).<br />
I |= sσ ≡ tσ gdw. I(sσ) = I(tσ)<br />
gdw. I ′ (s) = I ′ (t)<br />
gdw. I ′ |= s ≡ t<br />
(c) Sei A = (A,α). Zu zeigen ist, dass jede Interpretation I = (A,α,β) (d.h., für jede<br />
Variablenbelegung β) die Gleichung sσ ≡ tσ erfüllt. Zu jeder solchen Interpretation<br />
sei I ′ = (A,α,β ′ ) mit β ′ (x) = I(xσ) für alle x ∈ V. Aus A |= s ≡ t folgt I ′ |= s ≡ t,<br />
was nach Teil (b) äquivalent ist zu I |= sσ ≡ tσ.<br />
(d) Sei s ≡ E t, d.h., E |= s ≡ t. Dann gilt A |= s ≡ t für alle Modelle A von E. Nach Teil<br />
(c) gilt dann auch A |= sσ ≡ tσ für alle Modelle A von E <strong>und</strong> demnach E |= sσ ≡ tσ,<br />
d.h., sσ ≡ E tσ.<br />
✷<br />
Nun definieren wir, wie man die Teilterme eines Terms adressieren <strong>und</strong> gegebenenfalls<br />
ersetzen kann. Hierzu verwenden wir das Konzept der Stellen von Termen..<br />
Definition 3.1.5 (Stelle) Für einen Term t ist Occ(t) die Menge aller Stellen (oder “Positionen”)<br />
von t, wobei Occ(t) die kleinste Teilmenge von IN ∗ ist mit<br />
• ǫ ∈ Occ(t) <strong>und</strong><br />
• iπ ∈ Occ(t), falls t = f(t 1 ,...,t n ), 1 ≤ i ≤ n <strong>und</strong> π ∈ Occ(t i ).<br />
Für einen Term t mit π ∈ Occ(t) bezeichnet t| π den Teilterm von t an der Stelle π,<br />
wobei