Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

gilt. Als Induktionshypothese darf man nun jeweils voraussetzen, dass die Aussage für die
direkten Teilterme t 1 ,...,t n schon gilt. Mit anderen Worten, man muss
ϕ(t 1 )∧...∧ϕ(t n ) → ϕ(f(t 1 ,...,t n ))
zeigen. Hat man sowohl den Induktionsanfang als auch den Induktionsschluss bewiesen, so
folgt in der Tat ϕ(t) für alle Terme t. 1 Intuitiv ist dieses Beweisprinzip korrekt, weil es
direkt der Definition der Terme (Def. 2.1.3) folgt, d.h., weil T(Σ,V) die kleinste Menge ist
mit
(1) V ⊆ T (Σ,V) und
(2) f(t ∗ ) ∈ T(Σ,V), falls f ∈ Σ und t ∗ ∈ T (Σ,V) ∗ .
Analog lassen sich auch strukturelle Induktionsbeweise über jede andere Datenstruktur
durchführen, die auf induktive Weise definiert ist. Es wird sich in Kapitel 4 herausstellen,
dass dieses Beweisprinzip ein Spezialfall eines noch allgemeineren Beweisprinzips (der
sogenannten noetherschen Induktion) ist. Dort werden wir auch die Korrektheit dieses Beweisprinzips
formal nachweisen.
Lemma 3.1.4 (≡ E stabil) Sei I = (A,α,β) eine Σ-Interpretation für eine Signatur Σ,
seien s,t ∈ T (Σ,V), sei σ eine Substitution und sei I ′ = (A,α,β ′ ) mit β ′ (x) = I(xσ) für
alle x ∈ V. Dann gilt:
(a) I(tσ) = I ′ (t) (Substitutionslemma)
(b) I |= sσ ≡ tσ gdw. I ′ |= s ≡ t
(c) Für alle Σ-Algebren A gilt: Falls A |= s ≡ t, dann A |= sσ ≡ tσ.
(d) Für alle Gleichungssysteme E gilt: Falls s ≡ E t, dann auch sσ ≡ E tσ. Die Relation
≡ E ist also abgeschlossen unter Substitutionen.
Beweis.
(a) Der Beweis wird durch strukturelle Induktion über den Aufbau des Terms t geführt.
Die Aussage ϕ(t), die wir hier also betrachten, ist
“Für alle Substitutionen σ und alle Interpretationen I,I ′ wie oben gilt I(tσ) = I ′ (t).”
Im Induktionsanfang ist t entweder eine Variable oder eine Konstante (d.h., ein Funktionssymbol
aus Σ 0 ).
Falls t eine Variable x ist, so gilt
I(xσ) = β ′ (x) = I ′ (x).
1 Oftmals teilt man den Induktionsbeweis auch so auf, dass man nur ϕ(x) für alle Variablen x im
Induktionsanfang zeigt und den Fall der Konstanten im Induktionsschluss mitbehandelt. Dort betrachtet
man dann also alle Terme der Art f(t 1 ,...,t n ), wobei n auch 0 sein darf.