Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Definition 3.1.1 (Substitution und Matching) Eine Abbildung σ : V → T(Σ,V)
heißt Substitution gdw. σ(x) ≠ x nur für endlich viele x ∈ V gilt. SUB(Σ,V) bezeichnet
die Menge aller Substitutionen über Σ und V und id ∈ SUB(Σ,V) ist die identische
Substitution (d.h., id(x) = x für alle Variablen x ∈ V).
DOM(σ) = {x ∈ V |σ(x) ≠ x} heißt der Domain von σ. Da DOM(σ) endlich ist, ist
die Substitution σ als die endliche Menge von Paaren {x/σ(x)|x ∈ DOM(σ)} darstellbar.
Die Substitution σ ist eine Grundsubstitution gdw. σ(x) ∈ T(Σ) für alle x ∈ DOM(σ).
Substitutionen werden homomorph zu Abbildungen σ : T (Σ,V) → T(Σ,V) erweitert,
d.h. σ(f(t 1 ,...,t n )) = f(σ(t 1 ),...,σ(t n )).
Für zwei Terme s,t sagen wir, dass der Term s den Term t matcht, falls es eine Substitution
σ gibt mit σ(s) = t. Die Substitution σ heißt dann ein Matcher von s und t.
Für x ∗ = x 1 ...x n ∈ V ∗ mit x i ≠ x j für i ≠ j und t ∗ = t 1 ...t n ∈ T (Σ,V) ∗ schreiben wir
oft {x ∗ /t ∗ } als Kurzschreibweise für die Substitution {x 1 /t 1 ,...,x n /t n }. Weiterhin schreibt
man Substitutionen auch oft hinter den Term, auf den sie angewendet werden, d.h., tσ
steht für σ(t).
Beispiel 3.1.2 Wir betrachten wieder die Signatur von Bsp. 2.1.2. Ein Beispiel für eine
Substitution ist σ = {x/plus(x,y),y/O,z/succ(z)}. Man erhält dann
σ(plus(x,y)) = plus(x,y)σ = plus(plus(x,y),O).
Der Term plus(x,y) matcht daher den Term plus(plus(x,y),O) und die Substitution σ ist
ein Matcher.
Ist eine Gleichung s ≡ t in einer Algebra A gültig, so gilt dies auch für jede Instanz
sσ ≡ tσ der Gleichung. Die Gleichung gilt also unabhängig davon, welche Elemente des
Trägers den Variablen zugewiesen werden. Die Variablen in s und t sind daher implizit
allquantifiziert. Damit bleibt die Gültigkeit einer Gleichung erhalten, wenn Variablen durch
beliebige Terme ersetzt werden. Ebenso verhält es sich mit der Relation ≡ E , d.h., ≡ E ist
abgeschlossen oder stabil unter Substitutionen.
Definition 3.1.3 (Stabilität) Eine Relation → über Termen (d.h., →⊆ T (Σ,V)×T (Σ,
V) heißt stabil oder abgeschlossen unter Substitutionen, wenn für alle Terme t 1 ,t 2 und alle
Substitutionen σ aus t 1 → t 2 folgt, dass auch t 1 σ → t 2 σ gilt.
DasfolgendeLemma beschreibt dieobengenanntenZusammenhänge zwischen demsyntaktischen
Begriff “Substitution” und dem semantischen Begriff “Variablenbelegung”. Zum
Beweis verwenden wir eine strukturelle Induktion über Terme. Diesist möglich aufgrundder
induktiven Definition von Termen (Def. 2.1.3). Wenn man eine Aussage ϕ(t) für alle Terme
t ∈ T(Σ,V) zeigen will, so kann man wie folgt vorgehen: Im Induktionsanfang zeigt man,
dass die Aussage für alle Variablen gilt (d.h. ϕ(x) muss für alle x ∈ V bewiesen werden)
und dass die Aussage auch für alle Konstanten gilt (d.h. ϕ(c) muss für alle c ∈ Σ 0 gelten).
Im Induktionsschluss muss man beweisen, dass die Aussage für alle Terme der Gestalt
f(t 1 ,...,t n ) (für alle Funktionssymbole f ∈ Σ n mit n > 0 und alle t 1 ,...,t n ∈ T(Σ,V))