Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Kapitel 3
Termersetzung und Deduktion von
Gleichungen
In diesem Kapitel untersuchen wir drei Verfahren, um das Wortproblem s ≡ E t systematisch
und ggf. automatisch zu lösen. Diese Verfahren untersuchen also, ob eine Gleichung
tatsächlich aus einer Menge von Axiomen folgt. Abschnitt 3.1 stellt eine erste Methode
vor, wie dieses Problem automatisch behandelt werden kann. Dieses erste (naive) Verfahren
ist zwar für den praktischen Einsatz noch nicht geeignet, es stellt aber die Grundlage
für die verbesserten Verfahren der nächsten Abschnitte dar. In Abschnitt 3.2 wird ein leistungsfähigesundinderPraxisverwendetes
Verfahren(dersogenannteKongruenzabschluss)
präsentiert, das das Wortproblem für solche Gleichungssysteme E lösen kann, die keine Variablen
enthalten. Dies ist ein durchaus relevantes Problem; allerdings muss man in vielen
Anwendungen auch Gleichungen zwischen Termen mit Variablen betrachten. Aus diesem
Grund wird in Abschnitt 3.3 das Konzept der Termersetzungssysteme betrachtet, mit dem
man das Wortproblem für beliebige Gleichungssysteme untersuchen kann.
3.1 Deduktion von Gleichungen
Generell wird eine mathematische Struktur oder Theorie durch Angabe eines Gleichungssystems
E axiomatisiert, d.h. “definiert”, und man ist an Aussagen s ≡ t, die in solch einer
Struktur gelten, interessiert. Mit anderen Worten, man möchte untersuchen, ob E |= s ≡ t
gilt. Hierzu müssen (mit unserem bisherigen Kenntnisstand) alle Algebren A und alle Variablenbelegungen
(d.h., alleInterpretationen) betrachtet werden. DieDefinitionder semantischen
Folgerungsbeziehung “|=” liefert also keinen Anhaltspunkt, um systematisch (bzw.
automatisch) zu überprüfen, ob s ≡ E t gilt.
Als Abhilfe wird daher der semantischen Folgerungsbeziehung nun ein Kalkül, d.h. ein
Ableitungssystem, gegenübergestellt, mit dem das Wortproblem s ≡ E t systematisch (und
automatisch) überprüft werden kann. Zur Definition des Kalküls sind weitere technische
Begriffe erforderlich: Mit Substitutionen und Teiltermersetzungen werden Operationen auf
Termen definiert, mit denen dann ein Ableitungsbegriff formuliert werden kann.
Wir führen zunächst den Begriff der Substitution ein. Substitutionen erlauben die Ersetzung
(oder “Instantiierung”) von Variablen durch Terme.
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