Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Beweis. Wir betrachten zunächst den Fall E ̸|= I s ≡ t. Dann gibt es nach Satz 6.3.5 und
6.3.8 verschiedene Konstruktorgrundterme q 1 und q 2 mit E ∪ {s ≡ t} |= q 1 ≡ q 2 bzw.
q 1 ↔ ∗ E∪{s≡t} q 2. Würde die Ableitung mit (∅,R ω ) terminieren, so gälte nach Lemma 6.3.12
(a) auch q 1 ↔ ∗ R ω
q 2 . Da die Ableitung fair ist, ist R ω nach Satz 6.2.11 ein konvergentes
TES. Somit müssten q 1 und q 2 wegen der Church-Rosser Eigenschaft zusammenführbar
sein. Aufgrund Lemma 6.3.12 (c) sind q 1 und q 2 aber Normalformen von R ω und somit
folgt q 1 = q 2 im Widerspruch zur Verschiedenheit der beiden Terme. Damit ist gezeigt, dass
bei einer Terminierung der Ableitung mit (∅,R ω ) tatsächlich E |= I s ≡ t gilt.
Nun betrachten wir den Fall E |= I s ≡ t. Da R das Definitionsprinzip erfüllt, existiert
nach Lemma 6.3.12 (a) für alle (E ′ ,R ′ ) im Verlauf der Ableitung zu jedem Grundterm u ein
Konstruktorgrundterm q mit u ↔ ∗ E ′ ∪R ′ q. Da es nach Satz 6.3.5 und 6.3.8 keine Konstruktorgrundterme
q 1 ≠ q 2 mit q 1 ↔ ∗ E∪{s≡t} q 2 gibt (und daher auch nicht mit q 1 ↔ ∗ R∪{s≡t} q 2),
bleibt diese Eigenschaft nach Lemma 6.3.12 (b) während der Ableitung erhalten. Somit
kann die Ableitung niemals mit “False” enden.
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