Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

(E,R) während der Vervollständigung die folgende Aussage gilt: Für jeden Grundterm t
existiert ein Konstruktorgrundterm q mit t ↔ ∗ E∪R q.
Lemma 6.3.12 (Eigenschaften von ⊢ I ) Sei (E,R) ⊢ I (E ′ ,R ′ ) unter Verwendung der
Reduktionsordnung ≻ und der Menge Σ c von Konstruktoren.
(a) Es gilt ↔ ∗ E∪R ⊆↔∗ E ′ ∪R ′.
(b) Falls für alle Grundterme t ein Konstruktorgrundterm q mit t ↔ ∗ E∪R q existiert und
es keine Konstruktorgrundterme q 1 ≠ q 2 mit q 1 ↔ ∗ E∪R q 2 gibt, dann gilt für alle
Grundterme s,t mit s ↔ ∗ E ′ ∪R t auch s ′ ↔∗ E∪R t.
(c) Falls l /∈ T(Σ c ,V) für alle l → r ∈ R gilt, so gilt auch l /∈ T (Σ c ,V) für alle l → r ∈
R ′ .
Beweis.
(a) AlleTransformationsregelnbisaufdieInjektivitätveränderndieRelation↔ ∗ E∪R nicht,
vgl. Lemma 6.2.6. Bei der Injektivität gilt offensichtlich ↔ ∗ E∪{c(s 1 ,...,s n)≡c(t 1 ,...,t n)} ⊆
↔ ∗ E∪{s 1 ≡t 1 ,...,s n≡t n} .
(b) WiederummüssenwirnurdieInjektivitätsregel betrachten, dabeidenanderenTransformationsregeln
↔ ∗ E∪R =↔∗ E ′ ∪R ′ gilt. Hierzu zeigen wir, dass unter den Voraussetzungen
in (b) s i σ ↔ ∗ E∪{c(s 1 ,...,s n)≡c(t 1 ,...,t t n)} iσ für alle i und alle Substitutionen σ gilt, die
dieVariablenindens i undt i mitGrundtermeninstantiieren.DieseAussagegenügtfür
die Äquivalenz der beiden Relationen ↔ ∗ E∪{c(s 1 ,...,s n)≡c(t 1 ,...,t und n)} ↔∗ E∪{s 1 ≡t 1 ,...,s n≡t n}
auf Grundtermen.
Nach Voraussetzung gibt es zu jedem s i σ und t i σ Konstruktorgrundterme s ′ i und t′ i ,
so dass s i σ ↔ ∗ E∪{c(s 1 ,...,s n)≡c(t 1 ,...,t n)} s′ i und t iσ ↔ ∗ E∪{c(s 1 ,...,s n)≡c(t 1 ,...,t n)} t′ i gilt. Falls es
ein i mit s ′ i ≠ t ′ i gäbe, so wäre E ∪ {c(s 1 ,...,s n ) ≡ c(t 1 ,...,t n )} nicht konsistent,
da daraus die Gleichheit der unterschiedlichen Konstruktorgrundterme c(s ′ 1 ,...,s′ n )
und c(t ′ 1 ,...,t′ n ) folgt. Also sind s′ i und t′ i jeweis syntaktisch gleich und somit folgt
s i σ ↔ ∗ E∪{c(s 1 ,...,s n)≡c(t 1 ,...,t t n)} iσ.
(c) Die Behauptung folgt sofort aus der geänderten “Orientieren”-Regel.
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Nun können wir die Korrektheit des Induktionsbeweisverfahrens zeigen.
Satz 6.3.13 (Korrektheit des Induktionsbeweisverfahrens) Sei E ein Gleichungssystem
über Σ und V, sei R ein zu E äquivalentes konvergentes TES, das das Definitionsprinzip
für Σ c ⊆ Σ erfüllt, seien s,t ∈ T (Σ,V) und sei ≻ eine Reduktionsordnung. Sei
({s ≡ t},R) ⊢ I ... eine faire Ableitung mit den in Def. 6.3.9 beschriebenen Transformationsregeln.
Bricht die Ableitung mit “False” ab, so gilt E ̸|= I s ≡ t. Terminiert die Ableitung
mit (∅,R ω ), so gilt E |= I s ≡ t.