Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Regel E i R i \R
plus(x,succ(y)) ≡ succ(plus(x,y))
Orientieren
plus(x,succ(y)) → succ(plus(x,y))
Generieren succ(y) ≡ succ(plus(O,y)) plus(x,succ(y)) → succ(plus(x,y))
Reduz.-Gleichung succ(y) ≡ succ(y) plus(x,succ(y)) → succ(plus(x,y))
Löschen
plus(x,succ(y)) → succ(plus(x,y))
Generieren succ(plus(x,succ(y))) ≡ succ(plus(succ(x),y)) plus(x,succ(y)) → succ(plus(x,y))
Reduz.-Gleichung succ(succ(plus(x,y))) ≡ succ(plus(succ(x),y)) plus(x,succ(y)) → succ(plus(x,y))
Reduz.-Gleichung succ(succ(plus(x,y))) ≡ succ(succ(plus(x,y))) plus(x,succ(y)) → succ(plus(x,y))
Löschen
plus(x,succ(y)) → succ(plus(x,y))
Die Ableitung terminiert also mit (∅,R ∪ {plus(x,succ(y)) → succ(plus(x,y))}), denn
es sind alle kritischen Paare betrachtet worden. Dies beweist E |= I plus(x,succ(y)) ≡
succ(plus(x,y)).
Auf analoge Weise lässt sich nun z.B. auch zeigen, dass plus eine assoziative Funktion
berechnet, vgl. die Aussage (1.4) aus der Einleitung. Dies ist ebenfalls eine Aussage, die
nicht aus den beiden Gleichungen (6.1) und (6.2) über plus folgt, die aber induktiv gültig
ist. Das nächste Beispiel illustriert das Verhalten des Induktionsbeweisverfahrens bei einer
Gleichung, die nicht induktiv gültig ist.
Beispiel 6.3.11 Wir betrachten dieselbe Gleichungsmenge E und dasselbe TES R, das
die beiden Regeln für plus enthält. Nun wollen wir untersuchen, ob E |= I plus(succ(x),y) ≡
succ(O) gilt. Es ergibt sich die folgende Ableitung bei einer LPO oder RPO wie oben, bei
der außerdem noch plus größer als O in der Präzedenz ist. Die beiden “Generieren”-Schritte
bilden kritische Paare zwischen der neuen Regel plus(succ(x),y) → succ(O) und der zweiten
Regel plus(succ(x),y) → succ(plus(x,y)) bzw. der ersten Regel plus(O,y) → y von R.
Regel E i R i \R
plus(succ(x),y) ≡ succ(O)
Orientieren
plus(succ(x),y) → succ(O)
Generieren succ(plus(x,y)) ≡ succ(O) plus(succ(x),y) → succ(O)
Injektivität plus(x,y) ≡ O plus(succ(x),y) → succ(O)
Orientieren
plus(succ(x),y) → succ(O), plus(x,y) → O
Generieren y ≡ O plus(succ(x),y) → succ(O), plus(x,y) → O
Inkonsistenz
“False”
Im letzten Schritt hätte man stattdessen auch das kritische Paar bilden können, das sich
bei der Überlappung der zweiten Regel plus(succ(x),y) → succ(plus(x,y)) von R mit der
neuen Regel plus(x,y) → O ergibt. Dies hätte zu der neuen Gleichung succ(plus(x,y)) ≡ O
geführt, wodurch die Inkonsistenz-Regel ebenfalls anwendbar gewesen wäre.
Das folgende Lemma zeigt, dass die Transformationsregeln des Induktionsbeweiskalküls
die Menge der gültigen Grundgleichungen nicht verändern, sofern die Ursprungsmenge konsistent
war und das Definitionsprinzip erfüllte. Außerdem bleibt auch das Definitionsprinzip
erhalten: Die Modifikation der “Orientieren”-Regel stellt sicher, dass Bedingung (a) des Definitionsprinzips
stetserfüllt bleibt. Bedingung (b) bleibt insofernerfüllt,dass fürjedesPaar