Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Falls wir eine Gleichung der Form c(s 1 ,...,s n ) ≡ c(t 1 ,...,t n ) erhalten, so verwenden
wir die Injektivität der Konstruktoren und ersetzen die ursprüngliche Gleichung durch
die Gleichungen s 1 ≡ t 1 ,...,s n ≡ t n . Man kann zeigen, dass ↔ ∗ E∪{c(s 1 ,...,s n)≡c(t 1 ,...,t n)} und
↔ ∗ E∪{s 1 ≡t 1 ,...,s n≡t n} auf Grundtermen gleich sind, sofern E ∪ {c(s 1,...,s n ) ≡ c(t 1 ,...,t n )}
nicht inkonsistent ist.
Definition 6.3.9 (Induktionsbeweisverfahren [HH82]) Sei E ein Gleichungssystem
und R ein TES über Σ und V, sei Σ c ⊆ Σ, und sei ≻ eine Reduktionsordnung. Dann definieren
wir den Induktionsbeweiskalkül als die sechs Regeln des Vervollständigungsverfahrens
von Def. 6.2.2, wobei die Regel “Orientieren” wie folgt geändert wird und die weiteren
Regeln “Inkonsistenz” und “Injektivität” ergänzt werden:
Orientieren
Inkonsistenz
E ∪{s ≡ t},R
E,R∪{s → t}
E ∪{s ≡ t},R
E,R∪{t → s}
E ∪{s ≡ t},R
“False”
falls s ≻ t und s = f(...) mit f /∈ Σ c
falls t ≻ s und t = f(...) mit f /∈ Σ c
falls s = c 1 (...), t = c 2 (...) für c 1 ,c 2 ∈ Σ c mit c 1 ≠ c 2
oder s = c(...) und t ∈ V für c ∈ Σ c
oder t = c(...) und s ∈ V für c ∈ Σ c
Injektivität
E ∪{c(s 1 ,...,s n ) ≡ c(t 1 ,...,t n )},R
E ∪{s 1 ≡ t 1 ,...,s n ≡ t n },R
falls c ∈ Σ c
Wir schreiben (E,R) ⊢ I (E ′ ,R ′ ), falls (E,R) mit Hilfe einer dieser Transformationsregeln
in (E ′ ,R ′ ) überführt werden kann.
Wir illustrieren die Anwendung der Transformationsregeln des Induktionsbeweisverfahrens
nun an unserem Beispiel.
Beispiel 6.3.10 In der folgenden Tabelle geben wir jeweils den Namen der angewendeten
Transformationsregel sowie die jeweilige Menge von Gleichungen und Regeln an. Hierbei
haben wir die beiden ursprünglichen plus-Regeln aus R nicht mehr mit aufgeführt, um
die Tabelle klein zu halten. Wir verwenden zur Orientierung eine LPO oder RPO mit der
Präzedenz plus ❂ succ. Die beiden “Generieren”-Schritte bilden kritische Paare zwischen
der neuen Regel plus(x,succ(y)) → succ(plus(x,y)) und der ersten Regel plus(O,y) → y
bzw. der zweiten Regel plus(succ(x),y) → succ(plus(x,y)) von R.