Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Beweis. Um NF(R) ⊆ T(Σ c ) zu zeigen, nehmen wir an, dass es eine Grundnormalform q
gibt, die ein definiertes Funktionssymbol enthält. Dann existieren auch “innerste” Vorkommen
von definierten Funktionssymbolen, d.h., es existiert ein π ∈ Occ(q), so dass
q| π = f(t 1 ,...,t n ) für f ∈ Σ d und t 1 ,...,t n ∈ T (Σ c ). Nach Def. 6.3.6 (b) ist dann q| π
und damit auch q aber keine Normalform.
Ebenso gilt auch NF(R) ⊇ T(Σ c ). Der Grund ist, dass alle Konstruktorgrundterme
Normalformen sind, da jede linke Seite einer Regel aus R ein definiertes Funktionssymbol
enthält (wegen Def. 6.3.6 (a)).
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Zur Automatisierung der Konsistenzbeweismethode verwenden wir den Vervollständigungsalgorithmus,
um ein zu E ∪{s ≡ t} äquivalentes und konvergentes TES zu konstruieren.Hierbei
überprüfenwir,obwährendderVervollständigung neueGleichungen entstehen,
die verschiedene Konstruktorgrundterme gleich machen würden. In diesem Fall hätten wir
gezeigt, dass die Gleichung s ≡ t nicht induktiv gültig ist. Falls es uns hingegen gelingt,
ein zu E ∪ {s ≡ t} äquivalentes und konvergentes TES zu konstruieren, das keine verschiedenen
Konstruktorgrundterme gleich macht, so ist die induktive Gültigkeit von s ≡ t
bewiesen. Wir gehen hierbei davon aus, dass das zu E äquivalente konvergente TES R dem
Definitionsprinzip genügt. Bei der Konstruktion des TES, das zu E ∪ {s ≡ t} äquivalent
und konvergent sein soll, starten wir den verbesserten Vervollständigungsalgorithmus nun
nicht mit (E ∪ {s ≡ t},∅), sondern mit ({s ≡ t},R). Dies ist nach wie vor korrekt, da
↔ ∗ E∪{s≡t} =↔∗ {s≡t}∪R gilt.
Um das Vervollständigungsverfahren erfolgreich für Induktionsbeweise verwenden zu
können, wird es geringfügig modifiziert und erweitert. Bei diesem modifizierten Verfahren
kann sich dann während der Vervollständigung die Menge der gültigen Gleichungen
verändern (undzwar vergrößern), abersofernE∪{s ≡ t}konsistent ist (d.h., ausE∪{s ≡ t}
folgen keine Gleichheiten zwischen verschiedenen Konstruktorgrundtermen), so bleibt die
Menge der gültigen Grundgleichungen (d.h., Gleichungen zwischen Grundtermen) gleich.
Wenn man also im Vervollständigungsverfahren von (E,R) zu (E ′ ,R ′ ) kommt und E ∪R
konsistent ist, sosinddieRelationen↔ ∗ E∪R und↔∗ E ′ ∪R ′ aufGrundtermen gleich. DieGleichheit
von ↔ ∗ E∪R und ↔∗ E ′ ∪R ′ auf Grundtermen ist für Induktionsbeweise ausreichend: Wie
Satz 6.3.5 zeigt, genügt es, ein konvergentes TES zu konstruieren, das zu E ∪{s ≡ t} auf
Grundtermen äquivalent ist und zu zeigen, dass dieses TES keine verschiedenen Konstruktorgrundterme
zusammenführt.
In dem modifizierten Vervollständigungsverfahren wird sichergestellt, dass das durch
die Vervollständigung entstehende TES konsistent bleibt. Hierzu wird die Orientierung von
Gleichungen in Regeln nur noch dann erlaubt, wenn die neuen Regeln außen ein definiertes
Funktionssymbol haben.
Um Inkonsistenzen zu entdecken, wird der Vervollständigungsalgorithmus außerdem um
zwei Regeln ergänzt. Sie behandeln den Fall, dass während der Vervollständigung eine Gleichung
entsteht, bei der kein äußeres Funktionssymbol definiert ist. Hierbei gibt es die folgenden
Möglichkeiten: Falls eine Gleichung der Form c 1 (...) ≡ c 2 (...), c 1 (...) ≡ x oder
x ≡ c 2 (...) für Konstruktoren c 1 ≠ c 2 entsteht, so folgt daraus, dass verschiedene Konstruktorgrundterme
gleich sein müssen und wir haben daher eine Inkonsistenz entdeckt.
Die Aussage s ≡ t ist also nicht induktiv gültig und wir brechen mit “False” ab.