Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

unendliche Gleichungsmengen gilt), hat man damit auch E ∪{sσ ≡ tσ | xσ ∈ T (Σ) für alle
x ∈ V(s) ∪V(t)} |= u ≡ v. Da aufgrund der Voraussetzung E |= I s ≡ t jedes Modell von
E auch Modell von {sσ ≡ tσ | xσ ∈ T(Σ) für alle x ∈ V(s) ∪V(t)} ist, folgt damit auch
E |= u ≡ v.
Für die Richtung von rechts nach links setzen wir voraus, dass aus E ∪ {s ≡ t} |=
u ≡ v jeweils auch E |= u ≡ v folgt. Man erkennt, dass E ∪ {s ≡ t} |= sσ ≡ tσ für
alle Substitutionen σ gilt. Damit gilt dies insbesondere für die Substitutionen, bei denen
sσ und tσ Grundterme sind. Nach Voraussetzung gilt für diese Substitutionen dann auch
E |= sσ ≡ tσ. Dies bedeutet, dass s ≡ t in der Tat induktiv gültig in E ist. ✷
Für die obige Konsistenzbeweismethode muss man also überprüfen, ob durch die Hinzunahme
der Gleichung s ≡ t neue Gleichungen u ≡ v gelten, die bislang nicht aus E
folgten. Um dies zu automatisieren, versuchen wir, ein zu E äquivalentes konvergentes
Termersetzungssystem R zu finden. Hierzu verwenden wir die Vervollständigungsverfahren
aus den vorigen Abschnitten. Der folgende Satz zeigt, dass man dann nur untersuchen
muss, ob es verschiedene Grundnormalformen q 1 ≠ q 2 von R gibt, deren Gleichheit
aus E ∪ {s ≡ t} folgt. Hierbei bezeichnen wir die Menge der Grundnormalformen eines
TES R als NF(R) = {q ↓ R | q ∈ T (Σ)}. Wenn R beispielsweise das TES ist, das durch
Richten der Gleichungen (6.1) und (6.2) von links nach rechts entsteht, dann ergibt sich
NF(R) = {O,succ(O),succ 2 (O),...}.
Satz 6.3.5 (Konsistenzbeweismethode mit konvergenten TESen) Sei E ein Gleichungssystem
über Σ und V, sei R ein zu E äquivalentes konvergentes TES, seien s,t ∈
T (Σ,V). Dann gilt E |= I s ≡ t gdw. für alle q 1 ,q 2 ∈ NF(R) mit q 1 ≠ q 2 auch E ∪{s ≡ t} ̸|=
q 1 ≡ q 2 gilt.
Beweis.WirzeigenzuerstdieRichtung vonlinksnachrechts. Wirnehmenan,dassE∪{s ≡
t} |= q 1 ≡ q 2 für verschiedene Grundnormalformen q 1 und q 2 von R gilt. Da s ≡ t nach
Voraussetzung induktiv gültig ist, erhält man damit E |= q 1 ≡ q 2 nach Satz 6.3.4. Die
Konvergenz und Äquivalenz von R und E ergibt dann q 1 ↓ R q 2 und somit q 1 = q 2 , da es
sich um Normalformen handelt. Dies ist ein Widerspruch zur Voraussetzung.
Für die Rückrichtung nehmen wir E ̸|= I s ≡ t an. Nach Satz 6.3.4 existieren also
Grundterme u,v, so dass E ∪{s ≡ t} |= u ≡ v und E ̸|= u ≡ v. Sei q 1 = u↓ R und q 2 = v↓ R .
Diese Normalformen existieren aufgrund der Konvergenz von R. Wegen der Äquivalenz von
R und E gilt q 1 ≠ q 2 . Da R korrekt für E und somit auch für E ∪{s ≡ t} ist, gilt außerdem
E ∪{s ≡ t} |= q 1 ≡ u ≡ v ≡ q 2 . Dies widerspricht der Voraussetzung. ✷
Falls die Konstruktion des konvergenten und zu E äquivalenten TES R also mit dem
Vervollständigungsalgorithmus gelingt, so muss man nun für die Konsistenzbeweismethode
überprüfen, ob verschiedene Grundnormalformen von R bezüglich E ∪{s ≡ t} gleich sind.
Hierzu stellt sich das Problem, dass NF(R) im allgemeinen unendlich ist. Bei dem plus-TES
aus Bsp. 6.3.1 haben wir beispielsweise NF(R) = {O,succ(O),succ 2 (O),...}.
Die Lösung besteht darin, sich auf TESe R bestimmter Gestalt zu beschränken, bei
denen man die Menge NF(R) auf endliche Weise repräsentieren kann. Der Testschritt, ob
jeweils E ∪{s ≡ t} |= q 1 ≡ q 2 gilt, wird dann in den Vervollständigungsalgorithmus integriert.