Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...
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unendliche Gleichungsmengen gilt), hat man damit auch E ∪{sσ ≡ tσ | xσ ∈ T (Σ) für alle<br />
x ∈ V(s) ∪V(t)} |= u ≡ v. Da aufgr<strong>und</strong> der Voraussetzung E |= I s ≡ t jedes Modell von<br />
E auch Modell von {sσ ≡ tσ | xσ ∈ T(Σ) für alle x ∈ V(s) ∪V(t)} ist, folgt damit auch<br />
E |= u ≡ v.<br />
Für die Richtung von rechts nach links setzen wir voraus, dass aus E ∪ {s ≡ t} |=<br />
u ≡ v jeweils auch E |= u ≡ v folgt. Man erkennt, dass E ∪ {s ≡ t} |= sσ ≡ tσ für<br />
alle Substitutionen σ gilt. Damit gilt dies insbesondere für die Substitutionen, bei denen<br />
sσ <strong>und</strong> tσ Gr<strong>und</strong>terme sind. Nach Voraussetzung gilt für diese Substitutionen dann auch<br />
E |= sσ ≡ tσ. Dies bedeutet, dass s ≡ t in der Tat induktiv gültig in E ist. ✷<br />
Für die obige Konsistenzbeweismethode muss man also überprüfen, ob durch die Hinzunahme<br />
der Gleichung s ≡ t neue Gleichungen u ≡ v gelten, die bislang nicht aus E<br />
folgten. Um dies zu automatisieren, versuchen wir, ein zu E äquivalentes konvergentes<br />
Termersetzungssystem R zu finden. Hierzu verwenden wir die Vervollständigungsverfahren<br />
aus den vorigen Abschnitten. Der folgende Satz zeigt, dass man dann nur untersuchen<br />
muss, ob es verschiedene Gr<strong>und</strong>normalformen q 1 ≠ q 2 von R gibt, deren Gleichheit<br />
aus E ∪ {s ≡ t} folgt. Hierbei bezeichnen wir die Menge der Gr<strong>und</strong>normalformen eines<br />
TES R als NF(R) = {q ↓ R | q ∈ T (Σ)}. Wenn R beispielsweise das TES ist, das durch<br />
Richten der Gleichungen (6.1) <strong>und</strong> (6.2) von links nach rechts entsteht, dann ergibt sich<br />
NF(R) = {O,succ(O),succ 2 (O),...}.<br />
Satz 6.3.5 (Konsistenzbeweismethode mit konvergenten TESen) Sei E ein Gleichungssystem<br />
über Σ <strong>und</strong> V, sei R ein zu E äquivalentes konvergentes TES, seien s,t ∈<br />
T (Σ,V). Dann gilt E |= I s ≡ t gdw. für alle q 1 ,q 2 ∈ NF(R) mit q 1 ≠ q 2 auch E ∪{s ≡ t} ̸|=<br />
q 1 ≡ q 2 gilt.<br />
Beweis.WirzeigenzuerstdieRichtung vonlinksnachrechts. Wirnehmenan,dassE∪{s ≡<br />
t} |= q 1 ≡ q 2 für verschiedene Gr<strong>und</strong>normalformen q 1 <strong>und</strong> q 2 von R gilt. Da s ≡ t nach<br />
Voraussetzung induktiv gültig ist, erhält man damit E |= q 1 ≡ q 2 nach Satz 6.3.4. Die<br />
Konvergenz <strong>und</strong> Äquivalenz von R <strong>und</strong> E ergibt dann q 1 ↓ R q 2 <strong>und</strong> somit q 1 = q 2 , da es<br />
sich um Normalformen handelt. Dies ist ein Widerspruch zur Voraussetzung.<br />
Für die Rückrichtung nehmen wir E ̸|= I s ≡ t an. Nach Satz 6.3.4 existieren also<br />
Gr<strong>und</strong>terme u,v, so dass E ∪{s ≡ t} |= u ≡ v <strong>und</strong> E ̸|= u ≡ v. Sei q 1 = u↓ R <strong>und</strong> q 2 = v↓ R .<br />
Diese Normalformen existieren aufgr<strong>und</strong> der Konvergenz von R. Wegen der Äquivalenz von<br />
R <strong>und</strong> E gilt q 1 ≠ q 2 . Da R korrekt für E <strong>und</strong> somit auch für E ∪{s ≡ t} ist, gilt außerdem<br />
E ∪{s ≡ t} |= q 1 ≡ u ≡ v ≡ q 2 . Dies widerspricht der Voraussetzung. ✷<br />
Falls die Konstruktion des konvergenten <strong>und</strong> zu E äquivalenten TES R also mit dem<br />
Vervollständigungsalgorithmus gelingt, so muss man nun für die Konsistenzbeweismethode<br />
überprüfen, ob verschiedene Gr<strong>und</strong>normalformen von R bezüglich E ∪{s ≡ t} gleich sind.<br />
Hierzu stellt sich das Problem, dass NF(R) im allgemeinen unendlich ist. Bei dem plus-TES<br />
aus Bsp. 6.3.1 haben wir beispielsweise NF(R) = {O,succ(O),succ 2 (O),...}.<br />
Die Lösung besteht darin, sich auf TESe R bestimmter Gestalt zu beschränken, bei<br />
denen man die Menge NF(R) auf endliche Weise repräsentieren kann. Der Testschritt, ob<br />
jeweils E ∪{s ≡ t} |= q 1 ≡ q 2 gilt, wird dann in den Vervollständigungsalgorithmus integriert.