Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Beispiel 6.3.3 DieserBeweisließesichdurchstrukturelleInduktionübert 1 führen.Hierbei
gehen wir von Σ = {O,succ,plus} aus und verwenden das TES R, das durch Richten der
Gleichungen von links nach rechts entsteht.
Man erkennt, dass jeder Grundterm aus T(Σ) zu einem Grundterm aus T ({O,succ})
reduziert werden kann. Der Grund ist, dass die linken Seiten plus(O,y) und plus(succ(x),y)
derbeidenplus-RegelnallemöglichenEingabenabdecken(d.h.,plusistvollständigdefiniert)
und dass R terminiert. Daher betrachten wir im folgenden nur noch Grundterme t 1 aus
T ({O,succ}).
Falls t 1 = O ist, so reduzieren plus(O,succ(t 2 )) und succ(plus(O,t 2 )) beide zu succ(t 2 ).
Falls t 1 = succ(t ′ 1) ist, so gilt plus(succ(t ′ 1),succ(t 2 )) → R succ(plus(t ′ 1,succ(t 2 ))) und
succ(plus(succ(t ′ 1 ),t 2)) → R succ(succ(plus(t ′ 1 ,t 2))). Da nach der Induktionshypothese
plus(t ′ 1,succ(t 2 )) ≡ E succ(plus(t ′ 1,t 2 )) gilt, müssen diese Terme zu einem Term q zusammenführbar
sein. Damit sind dann auch die ursprünglichen Terme zum Term succ(q) zusammenführbar.
Der obige Induktionsbeweis entspricht einem Beweis mit der Peano-Induktion über
natürliche Zahlen. In allen bislang betrachteten Induktionsbeweisen wurde explizit eine
Induktionsrelation gebildet und Induktionshypothesen wurden explizit angewendet. Der
Nachteil bei einer Automatisierung dieses Verfahrens besteht darin, dass dann automatisch
entschieden werden muss, welche Induktionsrelation bzw. welche Induktionsvariablen
gewählt werden sollen und wann Induktionshypothesen auf welche Art verwendet werden
sollen. Genauere Details und Techniken zu diesem Ansatz finden sich z.B. in [Gie03].
Aus diesem Grund stellen wir in diesem Abschnitt eine alternative Möglichkeit vor, um
Induktionsbeweise zu automatisieren. Die Idee besteht darin, einfach den Vervollständigungsalgorithmus
der vorangegangenen Abschnitte zu verwenden und keine Induktionsrelationen,
Induktionsvariablen, Induktionshypothesen etc. zu bilden. Daher bezeichnet man
diese Form der Induktion als implizit.
Die Kernidee zum Nachweis von induktiver Gültigkeit auf diese Weise ist die sogenannte
Konsistenzbeweismethode: Eine Gleichung s ≡ t ist genau dann induktiv gültig in E, wenn
aus E∪{s ≡ t} die gleichen Grundgleichungen wie schon aus E folgen. Mit anderen Worten,
die Hinzunahme der Gleichung s ≡ t zu E darf keine “Inkonsistenzen” erzeugen.
Satz 6.3.4 (Konsistenzbeweismethode) Sei E ein Gleichungssystem über Σ und V,
seien s,t ∈ T(Σ,V). Dann gilt E |= I s ≡ t gdw. für alle Grundterme u,v ∈ T (Σ) mit
E ̸|= u ≡ v auch E ∪{s ≡ t} ̸|= u ≡ v gilt.
Beweis. Wir zeigen zunächst die Richtung von links nach rechts. Hierbei setzen wir voraus,
dass s ≡ t induktiv gültig ist. Zu zeigen ist nun, dass aus E ∪ {s ≡ t} |= u ≡ v auch
E |= u ≡ v folgt. Nach dem Satz von Birkhoff (Satz 3.1.14) bedeutet E ∪{s ≡ t} |= u ≡ v,
dass es eine Herleitung u = u 0 ↔ E∪{s≡t} u 1 ↔ E∪{s≡t} ... ↔ E∪{s≡t} u n = v gibt. Sei δ eine
Substitution, die alle Variablen in den u i durch Grundterme ersetzt. Dann gilt aufgrund
der Stabilität von ↔ E∪{s≡t} (Lemma 3.1.13) auch u = uδ = u 0 δ ↔ E∪{s≡t} u 1 δ ↔ E∪{s≡t}
... ↔ E∪{s≡t} u n δ = vδ = v. In dieser Herleitung werden nur Grundinstanzen von s durch
Grundinstanzen von t (und umgekehrt) ersetzt. Daher lässt sich die obige Herleitung also
auch mit der Ersetzungsrelation der unendlichen Gleichungsmenge E ∪ {sσ ≡ tσ | xσ ∈
T (Σ) für alle x ∈ V(s) ∪ V(t)} durchführen. Nach dem Satz von Birkhoff (der auch für