Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

den Gleichungen E, d.h., E ̸|= plus(x,succ(y)) ≡ succ(plus(x,y)). Der Grund ist, dass es
Modelle von E gibt, in denen diese Gleichung nicht gilt. Ein Beispiel ist die Algebra B =
(IN∪{✷,⋄},α ′ ) mit α ′ O = 0 und
α ′ succ(n) =
{
n+1, falls n ∈ IN
⋄, falls n ∈ {✷,⋄}
α ′ plus (n,m) = ⎧⎪ ⎨
⎪ ⎩
n+m, falls n,m ∈ IN
n, falls n ∈ {✷,⋄}
m, falls n = 0 und m ∈ {✷,⋄}
⋄, falls n > 0 und m ∈ {✷,⋄}
Es gilt B ̸|= plus(x,succ(y)) ≡ succ(plus(x,y)). Um dies zu sehen, sei I die Interpretation,
die aus B und der Variablenbelegung β mit β(x) = ✷ und β(y) = 0 entsteht. Dann gilt
I(plus(x,succ(y))) = α plus ′ (✷,α′ succ (0)) = ✷ und I(succ(plus(x,y))) = α′ succ (α′ plus (✷,0)) =
α succ ′ (✷) = ⋄.
Würde man die Gleichungen (6.1) und (6.2) von links nach rechts orientieren und das
entstehende TES als funktionales Programm ansehen, so hätte man damit ein Programm
zur Berechnung der Additionnatürlicher Zahlen. DieUntersuchung, obdieses Programmeine
bestimmte (Teil-)Spezifikation wie plus(x,succ(y)) ≡ succ(plus(x,y)) erfüllt, ist die Frage
der Programmverifikation. Natürlich liefern die Terme plus(x,succ(y)) und succ(plus(x,y))
bei jeder Instantiierung der Variablen x und y mit natürlichen Zahlen (d.h., mit Termen wie
O, succ(O), succ 2 (O), etc.) dasselbe Ergebnis. Mit anderen Worten, plus(x,succ(y))σ und
succ(plus(x,y))σ reduzieren zu derselben Normalform, sofern σ die Variablen mit Termen
wie oben belegt. Daher würde man diese Aussage über das plus-Programm als “korrekt”
bezeichnen.
Man erkennt also, dass bei der Programmverifikation typischerweise nicht die Gültigkeit
einer Gleichung in allen Modellen des Programms (bzw. seiner definierenden Gleichungen)
gemeint ist. Stattdessen betrachtet man nur solche Modelle, bei denen alle Elemente des
Trägers auch durch Grundterme repräsentiert werden können. Falls eine Aussage in allen
solchen Modellen gilt, dann bezeichnet man sie als induktiv gültig.
Definition 6.3.2 (Induktive Gültigkeit) Sei E ein Gleichungssystem über Σ und V,
seien s,t ∈ T(Σ,V). Die Gleichung s ≡ t ist induktiv gültig in E (E |= I s ≡ t) gdw.
E |= sσ ≡ tσ für alle Substitutionen σ gilt, bei denen σ(x) ∈ T(Σ) für alle x ∈ V(s)∪V(t)
gilt (d.h., für alle Substitutionen, die die Variablen von s und t mit Grundtermen belegen).
Offensichtlich ist jede aus E folgerbare (d.h. gültige) Gleichung auch induktiv gültig
(d.h., aus E |= s ≡ t folgt E |= I s ≡ t), aber die Rückrichtung gilt nicht. In Bsp. 6.3.1
wurde gezeigt, dass die Gleichung plus(x,succ(y)) ≡ succ(plus(x,y)) nicht gültig in E =
{(6.1),(6.2)} ist. Wir werden nun nachweisen, dass sie aber induktiv gültig ist. Hierzu
muss man zeigen, dass die Grundgleichung plus(t 1 ,succ(t 2 )) ≡ succ(plus(t 1 ,t 2 )) für alle
Grundterme t 1 und t 2 aus E folgt.