Definition 2.2.3 (Erfüllen einer Gleichung, Modell) Eine Interpretation I = (A,α, β) erfüllt eine Gleichung t 1 ≡ t 2 , geschrieben “I |= t 1 ≡ t 2 ”, gdw. I(t 1 ) = I(t 2 ). Eine Algebra A = (A,α) erfüllt t 1 ≡ t 2 (A |= t 1 ≡ t 2 ) gdw. I |= t 1 ≡ t 2 für alle Interpretationen der Form I = (A,α,β). Für alle Variablenbelegungen β müssen also die Deutungen von t 1 <strong>und</strong> t 2 identisch sein. Man sagt dann auch, eine Algebra ist ein Modell einer Gleichung. Analog ist eine Algebra A ein Modell einer Gleichungsmenge E (A |= E) gdw. A |= t 1 ≡ t 2 für alle Gleichungen t 1 ≡ t 2 in E. Aus einer Gleichungsmenge E folgt die Gleichung t 1 ≡ t 2 (abgekürzt “E |= t 1 ≡ t 2 ”) gdw. für alle Algebren A mit A |= E gilt A |= t 1 ≡ t 2 . (Das Zeichen “|=” steht also sowohl für Erfüllbarkeit durch eine Algebra bzw. Interpretation als auch für Folgerbarkeit aus einer Gleichungsmenge. Was jeweils gemeint ist, erkennt man daran, ob links des Zeichens “|=” eine Algebra bzw. Interpretation oder eine Gleichungsmenge steht.) Anstelle von “∅ |= t 1 ≡ t 2 ” schreibt man meist “|= t 1 ≡ t 2 ”. In diesem Fall heißt die Gleichung t 1 ≡ t 2 allgemeingültig (d.h., alle Algebren sind Modell dieser Gleichung). Wir definieren die Relation ≡ E auf T (Σ,V)×T(Σ,V) als s ≡ E t gdw. E |= s ≡ t. Die Relation ≡ E beschreibt also alle Gleichheiten, die aus der Menge E folgen. Beispiel 2.2.4 Wir betrachten wieder die Interpretationen aus Bsp. 2.2.2. Sei A = (A,α) (d.h., die Algebra, die der Interpretation I entspricht). Dann gilt: I |= plus(x,y) ≡ succ(succ(...(succ(O))...)) } {{ } 8-mal “succ” A ̸|= plus(x,y) ≡ succ(succ(...(succ(O))...)) } {{ } 8-mal “succ” A |= plus(x,y) ≡ plus(y,x) I ′′ ̸|= plus(x,y) ≡ plus(y,x) {plus(x,y) ≡ plus(y,x)} |= plus(O,succ(O)) ≡ plus(succ(O),O) Wenn E = {plus(x,y) ≡ plus(y,x)}, dann gilt also plus(O,succ(O)) ≡ E plus(succ(O),O). Beispiel 2.2.5 Sei Σ definiert wie in Bsp. 2.1.7. Sei A = (Z,α) eine Σ-Algebra mit α e = 0 α i (n) = −n α f (n,m) = n+m Dann gilt A |= {(2.1)−(2.4)} <strong>und</strong> A |= i(i(n)) = n. Sei B = (B,α ′ ) eine Σ-Algebra mit B = Menge der linearen Listen über beliebigem Alphabet mit mindestens 2 Zeichen α ′ e = [] (leere Liste) α ′ i([a 1 ,...,a n ]) = [a n ,...,a 1 ] (Invertieren von Listen) α ′ f ([a 1,...a n ],[b 1 ,...,b m ]) = [a 1 ,...,a n ,b 1 ,...,b m ] (Listenkonkatenation) Dann gilt B |= {(2.1),(2.2)} <strong>und</strong> B |= i(i(n)) = n, aber B ̸|= (2.3) <strong>und</strong> B ̸|= (2.4).
Die Frage, ob s ≡ E t für zwei Terme s <strong>und</strong> t bei einem Gleichungssystem E gilt, bezeichnet man als Wortproblem. Das Wortproblem untersucht also, ob eine Aussage s ≡ t nicht nur in einer bestimmten Algebra gilt, sondern in allen Algebren, die durch gewisse gemeinsame Eigenschaften ausgezeichnet sind. Beispielsweise bedeutet i(i(n)) ≡ {(2.1)−(2.3)} n, dass in allen Gruppen die inverse Funktion selbstinvers ist. Im nächsten Kapitel lernen wir Methoden kennen, um solche Fragestellungen automatisch zu untersuchen.
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Definition 4.3.1 (Einbettungsordnun
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abgearbeitet werden können. Die Te
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(c) Wir nehmen an, die Relation ≻
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Die Terminierung des plus-TES läss
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Beispiel 4.4.8 Um die Arbeitsweise
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Ansonsten gilt f = g = h und sowohl
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Beispiel 4.4.10 Wir betrachten die
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gilt s ≻ t. Der Baum hat außerde
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Beispiel 4.4.19 Betrachten wir noch
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Kapitel 5 Konfluenz von Termersetzu
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fikator von g(f(x),y) und g(y,f(z))
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Lemma 5.1.4 (Darstellung der Lösun
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Satz 5.1.9 (Korrektheit des Unifika
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Mit HilfedesUnifikationsalgorithmus
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Wie üblich bedeutet “s ↓ t”,
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Hierzu analysieren wir die verschie
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f(f(x,i(x)),f(x,e)) ❧❧❧❧❧
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l 1 σ 1 ✦ ✦✦✦ ❛❛ ❛
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Beispiel 5.2.5 Wir betrachten wiede
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Dieses Paar ist also zusammenführb
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Beispiel 5.3.5 Das TES {b → a,b
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dere besagt das Lemma, dass aus der
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p| π = lσ ✱❧ ✱ l ✱ ✱✱
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Um ein zu E äquivalentes konvergen
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DasVerfahrenwirdnunsolangewiederhol
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zw. dem kritischen Paar 〈f(y,z),f
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Durch Überlagerung der zweiten Reg
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neuen Regeln so vereinfachen lassen
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Reduziere-Rechts E,R∪{s → t} E,
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Beispiel 6.2.4 Das folgende Beispie
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In der grundlegenden Vervollständi
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Beispiel 6.2.12 Wir betrachten die
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Durch das kritische Paar zwischen (
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Dies führt zur Regel f(i(f(x,y)),x
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Beispiel 6.3.3 DieserBeweisließesi
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Die Grundidee für die Erkennung un
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Falls wir eine Gleichung der Form c
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(E,R) während der Vervollständigu
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Literaturverzeichnis [AG00] T. Arts
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[KN85] M. S. KrishnamoorthyandP. Na
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Index > IN , 42 > IN ∗, 18, 42 CC
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LPO, 69 Matcher, 15 Matching, 15, 2
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