Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Der Term f(g 2n +1 (f(x))) lässt sich durch mehrfache Reduktion mit der Regel g(g(x)) →
g(x) zu f(g(f(x))) reduzieren. Der Term f(g(f(g 2n (x)))) wird durch die erste Regel zu
f(g 2n (g 2n (x))) = f(g 2n+1 (x))reduziert. Dieentstehende Gleichung wirdvonlinksnach rechts
orientiert, was
(∅,{f(g(f(x))) → f(g 2n (x)),f(g(f(x))) → f(g 2n+1 (x)),g(g(x)) → g(x)})
ergibt. Falls wir wieder die Anwendungsbedingung von “Reduziere-Links” ignorieren, so
kann man die erste Regel mit Hilfe der zweiten Regel in die Gleichung f(g 2n+1 (x)) ≡
f(g 2n (x)) überführen, die mit der Regel g(g(x)) → g(x) in eine triviale Gleichung überführt
und anschließend gelöscht wird.
Auf diese Weise entsteht eine unendliche, faire Transformationsfolge mit leerer Menge
von persistenten Gleichungen. Die einzige persistente Regel ist R ω = {g(g(x)) → g(x)}.
Aber dieses TES ist nicht äquivalent zur ursprünglichen Gleichungsmenge E.
Die grundlegende Vervollständigungsprozedur bildet alle kritischen Paare der entstandenen
Regeln. Jede seiner Transformationsfolgen ist daher fair und nach Satz 6.2.11 ist
diese Prozedur daher korrekt im Sinne von Def. 6.2.8. Dies bestätigt also unseren Korrektheitssatz
6.1.6.
Selbstverständlich stellt man an eine gute Vervollständigungsprozedur neben der Korrektheit
den Anspruch, möglichst effizient zu sein und gleichzeitig möglichst selten fehlzuschlagen.
Hierzu existieren verschiedene Strategien. Generell ist es vorteilhaft, die “Löschen”-Transformationsregel
mit höchster Präferenz und die letzten drei Transformationsregeln
mit nächsthöherer Präferenz anzuwenden, da sie die betrachteten Gleichungen und
Regeln vereinfachen können. Die Transformationsregel “Orientieren” liegt in der Präferenz
darunter und die Transformationsregel “Generieren” sollte man nur dann anwenden, wenn
keine andere Transformationsregel mehr anwendbar ist. Hierbei sollte man jedes kritische
Paar natürlich nur einmal im Verlauf der Transformation erzeugen. Um Fehlschlag zu erkennen,
kann man z.B. die Heuristik verwenden, dass man dann abbrechen sollte, wenn
alle kritischen Paare mit einer bestimmten Regel gebildet wurden und soweit wie möglich
in Regeln überführt und reduziert wurden, und dennoch noch nicht-orientierbare Gleichungen
übrig bleiben. Aufgrund der verlangten Fairness der Transformationsfolge muss man
natürlich sicher stellen, dass alle kritischen Paare der persistenten Regeln irgendwann einmal
als Gleichungen auftraten. (Es gibt darüber hinaus auch verbesserte Kriterien, die es
erlauben, auf eine erneute kritische Paar-Bildung zwischen Regeln zu verzichten, die sich
nur aufgrund der “Reduziere-Rechts”-Transformationsregel verändert habe, vgl. [Hue80]
und [BN98, Abschnitt 7.4].)
Beispiel 6.2.13 Wir zeigen nun, wie das Gruppenbeispiel vervollständigt wird. Wir beginnen
wie in Bsp. 6.2.1. Aus den ursprünglichen Gleichungen
E = {f(x,f(y,z)) ≡ f(f(x,y),z),f(x,e) ≡ x,f(x,i(x)) ≡ e}
entsteht durch“Orientieren” dasfolgendeTES. Hierbei wirddieRPOSmit Präzedenz f ❂ e
verwendet, wobei das Funktionssymbol f den Status 〈2,1〉 hat.
f(x,f(y,z)) → f(f(x,y),z) (G1)
f(x,e) → x (G2)
f(x,i(x)) → e (G3)