Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...
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Beispiel 6.2.12 Wir betrachten die Gleichungsmenge<br />
E = {f(g(f(x))) ≡ f(g(x)),g(g(x)) ≡ g(x)}.<br />
Wir werden nun eine Transformationsfolge konstruieren, bei der unendlich viele Regeln<br />
l n → r n mit identischer linker Seite l n = f(g(f(x))), aber verschiedener rechter Seite r n =<br />
f(g 2n (x)) entstehen. Wenn man die Anwendungsbedingung bei der Transformationsregel<br />
“Reduziere-Links” außer acht lässt, dann kann man für alle n ≥ 1 die Regel l n → r n mit<br />
der Regel l n+1 → r n+1 reduzieren. Daher ist keine der Regeln l n → r n mit n ≥ 1 persistent.<br />
Durch zweifache Anwendung der “Orientieren”-Transformationsregel erhält man das<br />
Paar<br />
(∅,{f(g(f(x))) → f(g(x)),g(g(x)) → g(x)}).<br />
Die Überlappung der zweiten Regel mit sich selbst ergibt ein kritisches Paar, das zusammengeführt<br />
werden kann. Somit wird dadurch keine neue Regel erzeugt. Aus der ersten<br />
Regel entsteht die kritische Situation<br />
f(g(f(g(f(x)))))<br />
♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠♠ ❘❘❘❘❘❘❘❘❘❘❘❘❘<br />
f(g 2 (f(x)))<br />
f(g(f(g(x))))<br />
DieentstehendeGleichungf(g 2 (f(x))) ≡ f(g(f(g(x))))kanndurch“Reduziere-Gleichung”zu<br />
f(g(f(x))) ≡ f(g 2 (x))reduziertwerden.Hierbeikönntemannatürlich“Reduziere-Gleichung”<br />
noch weiter anwenden; dies ist jedoch durch die Einschränkung auf faire Transformationsfolgen<br />
nicht verlangt. Bei Verwendung der RPOS mit der Präzedenz f ❂ g wird dies in eine<br />
Regel von links nach rechts orientiert. So erhält man<br />
(∅,{f(g(f(x))) → f(g(x)),f(g(f(x))) → f(g 2 (x)),g(g(x)) → g(x)}).<br />
Wenn man die Anwendungsbedingung von “Reduziere-Links” ignoriert, kann man nun die<br />
erste Regel mit Hilfe der zweiten Regel zu der Gleichung f(g 2 (x)) ≡ f(g(x)) reduzieren, die<br />
mit Hilfe der Regel g(g(x)) → g(x) zu einer trivialen Gleichung reduziert <strong>und</strong> anschließend<br />
gelöscht wird. Wir haben daher nun das folgende Paar erzeugt:<br />
(∅,{f(g(f(x))) → f(g 2 (x)),g(g(x)) → g(x)}).<br />
Diese Konstruktion wird nun unendlich oft wiederholt. Wenn wir bereits das Paar<br />
haben, so bilden wir die kritische Situation<br />
(∅,{f(g(f(x))) → f(g 2n (x)),g(g(x)) → g(x)})<br />
f(g(f(g(f(x)))))<br />
❧❧❧❧❧❧❧❧❧❧❧❧❧ ❘❘❘❘❘❘❘❘❘❘❘❘❘<br />
f(g 2n +1 (f(x)))<br />
f(g(f(g 2n (x))))
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