Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Beispiel 6.2.9 Wir betrachten die Gleichungsmenge
E = {h(x,y) ≡ f(x),h(x,y) ≡ f(y),f(g(f(x))) ≡ g(f(x))}.
Diese entsteht durch Kombination von Gleichungen aus den Beispielen 6.1.5 und 6.2.4.
Die zu Regeln gerichteten Gleichungen h(x,y) → f(x) und h(x,y) → f(y) führen zu einem
kritischen Paar, das die nicht-orientierbare Gleichung f(x) ≡ f(y) ergibt. Während in Bsp.
6.2.4 diese Gleichung später reduziert werden konnte, entsteht in diesem Beispiel keine neue
Regel, die diese Terme vereinfachen könnte. Stattdessen führt die Gleichung f(g(f(x))) ≡
g(f(x)) wie in Bsp. 6.1.5 zu einer Nicht-Terminierung der Vervollständigung. So entsteht
eine unendliche Transformationsfolge mit der persistenten Gleichung E ω = {f(x) ≡ f(y)}
und den persistenten Regeln R ω = {f(g n (f(x))) → g n (f(x))|n ≥ 1}.
Ein Vervollständigungsverfahren ist korrekt, wenn im Fall der leeren persistenten Gleichungen
die persistenten Regeln R ω stets ein konvergentes und zur ursprünglichen Gleichungsmenge
äquivalentes TES sind. Die Terminierung von R ω ist dabei durch die Transformationsregeln
sicher gestellt, aber die Konfluenz von R ω gilt nicht ohne weitere Voraussetzung.
Man muss voraussetzen, dass jedes kritische Paar der persistenten Regeln
auch tatsächlich irgendwann einmal gebildet wurde. Sonst könnte man z.B. die Gleichung
{a ≡ b,a ≡ c} in das nicht-konfluente System {a → b,a → c} überführen und dann die
Vervollständigung abbrechen. Ebenso könnte man in Bsp. 6.2.9 eine unendliche Transformationsfolge
erhalten, die niemals das kritische Paar aus h(x,y) → f(x) und h(x,y) → f(y)
bildet. Die persistenten Gleichungen wären dann leer, aber das (unendliche) TES R ω würde
diese beiden Regeln enthalten, die die Konfluenz zerstören. Man muss sich also auf sogenannte
faire Transformationsfolgen beschränken.
Definition 6.2.10 (Fairness) Eine (endliche oder unendliche) Transformationsfolge
(E 0 ,R 0 ) ⊢ C (E 1 ,R 1 ) ⊢ C ... ist fair, falls CP(R ω ) ⊆ ⋃ i≥0 E i, d.h., jedes kritische Paar
der persistenten Regeln trat auch einmal als Gleichung auf.
Das grundlegende Theorem zur Vervollständigung zeigt nun, dass dies die einzige EinschränkungandieStrategieist,diemanfürkorrekteVervollständigungsprozeduren
braucht.
Der Beweis dieses Satzes ist nicht trivial; man benötigt hierzu das Konzept der Beweisordnungen.
Hierzu wird auf [BN98, Abschnitt 7.3] verwiesen.
Satz 6.2.11 (Vervollständigungssatz) Jede Vervollständigungsprozedur, bei der jede
nicht-fehlschlagende Transformationsfolge fair ist, ist korrekt.
Der obige Satz gilt nur, wenn man die Transformationsregel “Reduziere-Links” wie
in Def. 6.2.2 so einschränkt, dass eine Regel s → t nur mit einer anderen Regel l →
r reduziert werden darf, bei der l selbst nicht mit s → t reduziert werden kann. Der
Grund für diese Einschränkung bei der Transformationsregel “Reduziere-Links” ist, dass
man ansonsten faire Transformationsfolgen konstruieren kann, bei denen die entstehenden
persistenten Regeln nicht äquivalent zu E sind.