Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

In der grundlegenden Vervollständigungsprozedur (bzw. bei Anwendung der Transformationsregeln“Generieren”,“Orientieren”,“Löschen”
und“Reduziere-Gleichung” nachder
dementsprechenden Strategie) ergeben sich folgende persistente Gleichungen und Regeln:
Wenn die Prozedur mit Erfolg terminiert, dann entspricht dies einer (endlichen) Transformationsfolge
mit E ω = ∅ und R ω ist dann ein endliches, konvergentes und zu dem
ursprünglichen Gleichungssystem äquivalentes TES. Wenn die Prozedur nicht terminiert,
so haben wir eine unendliche Transformationsfolge, bei der ebenfalls E ω = ∅ gilt (denn
jede irgendwann entstehende Gleichung wird entweder gelöscht oder zu einer neuen Regel
umgewandelt) und R ω ist ein unendliches, konvergentes und zu dem ursprünglichen Gleichungssystem
äquivalentes TES (vgl. Satz 6.1.6). Falls die Prozedur zum Fehlschlag führt,
so haben wir eine endliche Transformationsfolge mit E ω ≠ ∅. Allgemein erhält man die
folgende Definition für beliebige Transformationsfolgen und Vervollständigungsprozeduren.
Definition 6.2.8 (Erfolg und Korrektheit von Vervollständigungsprozeduren)
Eine (endliche oder unendliche) Transformationsfolge (E 0 ,∅) ⊢ C (E 1 ,R 1 ) ⊢ C ... ist erfolgreich
gdw. E ω = ∅ gilt und R ω ein konvergentes zu E 0 äquivalentes TES ist. Eine Transformationsfolge
schlägt fehl gdw. E ω ≠ ∅ ist. Eine Vervollständigungsprozedur ist ein Algorithmus,
der als Eingabe ein Gleichungssystem E 0 und eine Reduktionsordnung ≻ bekommt
und eine (endliche oder unendliche) Transformationsfolge (E 0 ,∅) ⊢ C (E 1 ,R 1 ) ⊢ C ... mit
den Transformationsregeln aus Def. 6.2.2 und der Reduktionsordnung ≻ berechnet. Eine
Vervollständigungsprozedur ist korrekt wenn für alle E 0 und ≻ die berechnete Transformationsfolge
entweder erfolgreich ist oder fehlschlägt.
Aus den Transformationsregeln lassen sich also sofort beliebige Vervollständigungsprozeduren
erhalten. Diese wenden (nach bestimmten Strategien) die Transformationsregeln
an, wobei man mit der eingegeben Gleichungsmenge E 0 und dem leeren TES beginnt und
die eingegebene Reduktionsordnung ≻ verwendet. Die Vervollständigungsprozedur kann
nach bestimmten Kriterien abbrechen (auch wenn noch Transformationsregeln anwendbar
sind) oder unendlich laufen. Unabhängig davon, ob die Prozedur abbricht oder unendlich
lange läuft, sollte allerdings folgendes gelten: Wenn die Menge der persistenten Gleichungen
leer ist, dann sollten die persistenten Regeln ein zu E 0 äquivalentes und konvergentes TES
sein. Nur dann bezeichnet man eine Vervollständigungsprozedur als “korrekt”. Satz 6.1.6
zeigt, dass die grundlegende Vervollständigungsprozedur korrekt im Sinne von Def. 6.2.8
ist. Wir werden im folgenden ein generelles Kriterium kennen lernen, um die Korrektheit
von Vervollständigungsprozeduren sicher zu stellen.
Falls eine korrekte Vervollständigungsprozedur leere persistente Gleichungen erzeugt
und endlich läuft, so kann man dann also die persistenten Regeln als Ergebnis zurückgeben
und falls die Transformationsregeln unendlich oft angewendet werden, so lässt sich die Vervollständigungsprozedur
immerhin als Semi-Entscheidungsalgorithmus verwenden. Falls die
Menge der persistenten Gleichungen nicht leer ist, so ist die Vervollständigung gescheitert.
DiegrundlegendeVervollständigungsprozedur bricht mitFehlschlag ab,sobaldeineGleichung
nicht (nach Reduktion) gelöscht oder in eine Regel orientiert werden kann. Falls die
Menge der persistenten Gleichungen nicht leer ist, so stoppt sie also stets nach endlicher
Zeit mit Fehlschlag. Im allgemeinen kann man aber auch unendliche fehlschlagende Transformationsfolgen
haben.