Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

eine Regel verkleinert. Bei diesen Transformationsregeln ist die Behauptung daher offensichtlich.
In der Transformationsregel “Orientieren” wird R um eine Regel l → r erweitert, für
die nach Konstruktion l ≻ r gilt.
In der Transformationsregel “Reduziere-Rechts” folgt die Behauptung, da t → R v bedeutet,
dass t ≻ v gilt (da in allen Regeln von R die linke Seite ≻-größer als die rechte ist
und da ≻ unter Substitutionen und Kontext abgeschlossen ist). Somit ergibt sich s ≻ t ≻ v
und damit s ≻ v aufgrund der Transitivität von ≻.
✷
Das nächste Lemma zeigt, dass die Transformationsregeln “korrekt” sind, d.h., die Menge
der gültigen Gleichungen wird dadurch nicht verändert.
Lemma 6.2.6 (Korrektheit des vervollständigten TES) Aus (E,R) ⊢ C (E ′ ,R ′ ) folgt
↔ ∗ E∪R =↔∗ E ′ ∪R ′.
Beweis. Für die “Generieren”-Transformationsregel gilt die Aussage, da s ↔ ∗ R t für alle
〈s,t〉 ∈ CP(R) gilt. Für die Transformationsregeln “Orientieren” und “Löschen” ist die
Aussage trivial.
Für die Transformationsregel “Reduziere-Gleichung” ist zu zeigen, dass ↔ ∗ E∪{s≡t}∪R =
↔ ∗ E∪{u≡t}∪R gilt. Die “⊇”-Richtung gilt, denn wir haben u ← R s → E∪{s≡t} t und somit
u ↔ ∗ E∪{s≡t}∪R t (aufgrund der Abgeschlossenheit von ↔∗ E∪{s≡t}∪R
unter Substitutionen und
Kontexten). Für die “⊆”-Richtung zeigt man s → R u → E∪{u≡t} t und somit s ↔ ∗ E∪{u≡t}∪R t.
DieKorrektheitderVersionder“Reduziere-Gleichung”-Transformationsregel beiReduktion
auf rechten Seiten von Gleichungen sowie der Transformationsregeln “Reduziere-Rechts”
und “Reduziere-Links” zeigt man auf analoge Weise.
✷
Aus den beiden obigen Lemmata erhält man die folgende Korrektheitsaussage: Falls
man aus (E,∅) in endlich vielen Schritten ein Paar (∅,R) erhält, bei dem alle kritischen
Paare von R zusammenführbar sind, dann ist R ein konvergentes und zu E äquivalentes
TES. Diese Aussagen lassen sich aber noch verbessern. Zum einen braucht man einmal
untersuchte kritische Paare nicht noch einmal betrachten und zum anderen kann man eine
entsprechende Aussage auch für unendliche Transformationsfolgen treffen. Um die Ergebnisse
von endlichen und unendlichen Transformationen einheitlich beschreiben zu können,
werden die folgenden Begriffe eingeführt.
Definition 6.2.7 (Persistente Gleichungen und Regeln)
• Für eine endliche Folge von Transformationsschritten (E 0 ,R 0 ) ⊢ C (E 1 ,R 1 ) ⊢ C ... ⊢ C
(E n ,R n ) definieren wir die persistenten Gleichungen E ω = E n und die persistenten
Regeln R ω = R n .
• Für eine unendliche Folge von Transformationsschritten (E 0 ,R 0 ) ⊢ C (E 1 ,R 1 ) ⊢ C ...
definieren wir die persistenten Gleichungen E ω = ⋃ ⋂
i≥0 j≥i E j und die persistenten
Regeln R ω = ⋃ ⋂
i≥0 j≥i R j.
Diepersistenten Gleichungen bzw. Regelnsind also diejenigen Gleichungen bzw. Regeln,
die im Verlauf der Transformation irgendwann eingeführt und nie wieder eliminiert werden.