Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...
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Beispiel 6.2.4 Das folgende Beispiel zeigt, dass man durch die neuen Transformationsregeln<br />
TESe vervollständigen kann, bei denen der gr<strong>und</strong>legende Vervollständigungsalgorithmus<br />
fehlschlägt. Hierzu betrachten wir das folgende Gleichungssystem.<br />
E = {h(x,y) ≡ f(x),h(x,y) ≡ f(y),g(x,y) ≡ h(x,y),g(x,y) ≡ a}<br />
Wir beginnen also mit dem Paar (E,∅). Wenn wir die Transformationsregeln nach der<br />
Strategie des gr<strong>und</strong>legenden Vervollständigungsalgorithmus anwenden, so werden zunächst<br />
alle Regeln orientiert. Wenn man die RPOS mit der Präzedenz g ❂ h ❂ f ❂ a verwendet,<br />
so erhält man schließlich das Paar (∅,R) mit<br />
R = {h(x,y) → f(x),h(x,y) → f(y),g(x,y) → h(x,y),g(x,y) → a}.<br />
Mit Hilfe der Transformationsregel “Generieren” erzeugt man nun die beiden Gleichungen<br />
f(x) ≡ f(y) <strong>und</strong> h(x,y) ≡ a aus den kritischen Paaren. Das erste kritische Paar lässt sich<br />
aber nicht zu einer Regel orientieren, denn für keine Reduktionsordnung gilt f(x) ≻ f(y)<br />
oder f(y) ≻ f(x). Daher scheitert hier der gr<strong>und</strong>legende Vervollständigungsalgorithmus.<br />
Bei (bislang) nicht orientierbaren Gleichungen muss manaber eigentlich dieVervollständigung<br />
noch nicht abbrechen, sondern man kann die Behandlung dieser Gleichung erst einmal<br />
zurückstellen. Dies führt in unserem Beispiel zum Erfolg. Mit der Transformationsregel<br />
“Reduziere-Gleichung” wird h(x,y) ≡ a zu f(x) ≡ a oder zu f(y) ≡ a reduziert. Anschließendwirddiese<br />
Gleichung vonlinks nachrechts orientiert <strong>und</strong>alsneueRegel aufgenommen.<br />
Man erhält so das Paar ({f(x) ≡ f(y)},R∪{f(x) → a}). Nun kann man mit dieser neuen<br />
Regel durch die “Reduziere-Gleichung”-Technik die Terme f(x) <strong>und</strong> f(y) in der Gleichung<br />
f(x) ≡ f(y)beide zu a reduzieren. Die entstehende Gleichung kann dann mit der “Löschen”-<br />
Transformationsregel eliminiert werden. So ergibt sich das Paar (∅,R∪{f(x) → a}).<br />
Das TES R ∪ {f(x) → a} kann nun sogar mit der Transformationsregel “Reduziere-<br />
Rechts” noch vereinfacht werden, da man die rechte Seite h(x,y) der dritten Regel mit der<br />
ersten oder der zweiten Regel zu f(x) oder f(y) reduzieren kann. Anschließend kann dieser<br />
Term weiter zu a reduziert werden. Ebenso können auch die rechten Seiten der ersten <strong>und</strong><br />
zweiten Regel zu a reduziert werden. So ergibt sich schließlich das folgende konvergente <strong>und</strong><br />
zu E äquivalente TES:<br />
{h(x,y) → a,g(x,y) → a,f(x) → a}.<br />
UmdieKorrektheitderTransformationsregelnbzw.desdamitentstehendenVervollständigungsverfahrens<br />
zu zeigen, beweisen wir zunächst, dass diedabei entstehenden TESe stets<br />
terminieren. Wenn die Terminierung von R mit der Reduktionsordnung ≻ gezeigt werden<br />
konnte, so gilt dies auch für das TES R ′ , falls (E,R) ⊢ C (E ′ ,R ′ ) gilt. Falls man also mit<br />
einem Paar (E,∅) beginnt <strong>und</strong> daraus (in mehreren Schritten) (E ′ ,R ′ ) herleitet, so folgt<br />
damit die Terminierung von R ′ .<br />
Lemma 6.2.5 (Terminierung des vervollständigten TES) Sei ≻ die bei der Transformation<br />
aus Def. 6.2.2 verwendete Reduktionsordnung. Falls l ≻ r für alle l → r ∈ R gilt<br />
<strong>und</strong> (E,R) ⊢ C (E ′ ,R ′ ), so gilt auch l ≻ r für alle l → r ∈ R ′ .<br />
Beweis.IndenTransformationsregeln“Generieren”,“Löschen”<strong>und</strong>“Reduziere-Gleichung”<br />
wird R nicht verändert <strong>und</strong> in der Transformationsregel “Reduziere-Links” wird R ggf. um