Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Beispiel 6.2.4 Das folgende Beispiel zeigt, dass man durch die neuen Transformationsregeln
TESe vervollständigen kann, bei denen der grundlegende Vervollständigungsalgorithmus
fehlschlägt. Hierzu betrachten wir das folgende Gleichungssystem.
E = {h(x,y) ≡ f(x),h(x,y) ≡ f(y),g(x,y) ≡ h(x,y),g(x,y) ≡ a}
Wir beginnen also mit dem Paar (E,∅). Wenn wir die Transformationsregeln nach der
Strategie des grundlegenden Vervollständigungsalgorithmus anwenden, so werden zunächst
alle Regeln orientiert. Wenn man die RPOS mit der Präzedenz g ❂ h ❂ f ❂ a verwendet,
so erhält man schließlich das Paar (∅,R) mit
R = {h(x,y) → f(x),h(x,y) → f(y),g(x,y) → h(x,y),g(x,y) → a}.
Mit Hilfe der Transformationsregel “Generieren” erzeugt man nun die beiden Gleichungen
f(x) ≡ f(y) und h(x,y) ≡ a aus den kritischen Paaren. Das erste kritische Paar lässt sich
aber nicht zu einer Regel orientieren, denn für keine Reduktionsordnung gilt f(x) ≻ f(y)
oder f(y) ≻ f(x). Daher scheitert hier der grundlegende Vervollständigungsalgorithmus.
Bei (bislang) nicht orientierbaren Gleichungen muss manaber eigentlich dieVervollständigung
noch nicht abbrechen, sondern man kann die Behandlung dieser Gleichung erst einmal
zurückstellen. Dies führt in unserem Beispiel zum Erfolg. Mit der Transformationsregel
“Reduziere-Gleichung” wird h(x,y) ≡ a zu f(x) ≡ a oder zu f(y) ≡ a reduziert. Anschließendwirddiese
Gleichung vonlinks nachrechts orientiert undalsneueRegel aufgenommen.
Man erhält so das Paar ({f(x) ≡ f(y)},R∪{f(x) → a}). Nun kann man mit dieser neuen
Regel durch die “Reduziere-Gleichung”-Technik die Terme f(x) und f(y) in der Gleichung
f(x) ≡ f(y)beide zu a reduzieren. Die entstehende Gleichung kann dann mit der “Löschen”-
Transformationsregel eliminiert werden. So ergibt sich das Paar (∅,R∪{f(x) → a}).
Das TES R ∪ {f(x) → a} kann nun sogar mit der Transformationsregel “Reduziere-
Rechts” noch vereinfacht werden, da man die rechte Seite h(x,y) der dritten Regel mit der
ersten oder der zweiten Regel zu f(x) oder f(y) reduzieren kann. Anschließend kann dieser
Term weiter zu a reduziert werden. Ebenso können auch die rechten Seiten der ersten und
zweiten Regel zu a reduziert werden. So ergibt sich schließlich das folgende konvergente und
zu E äquivalente TES:
{h(x,y) → a,g(x,y) → a,f(x) → a}.
UmdieKorrektheitderTransformationsregelnbzw.desdamitentstehendenVervollständigungsverfahrens
zu zeigen, beweisen wir zunächst, dass diedabei entstehenden TESe stets
terminieren. Wenn die Terminierung von R mit der Reduktionsordnung ≻ gezeigt werden
konnte, so gilt dies auch für das TES R ′ , falls (E,R) ⊢ C (E ′ ,R ′ ) gilt. Falls man also mit
einem Paar (E,∅) beginnt und daraus (in mehreren Schritten) (E ′ ,R ′ ) herleitet, so folgt
damit die Terminierung von R ′ .
Lemma 6.2.5 (Terminierung des vervollständigten TES) Sei ≻ die bei der Transformation
aus Def. 6.2.2 verwendete Reduktionsordnung. Falls l ≻ r für alle l → r ∈ R gilt
und (E,R) ⊢ C (E ′ ,R ′ ), so gilt auch l ≻ r für alle l → r ∈ R ′ .
Beweis.IndenTransformationsregeln“Generieren”,“Löschen”und“Reduziere-Gleichung”
wird R nicht verändert und in der Transformationsregel “Reduziere-Links” wird R ggf. um