Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Nun wenden wir “Generieren” zweimal an, um die beiden kritischen Paare zu erzeugen.
({f(y,z) ≡ f(y,f(f(y,z),z ′ )),f(x,y) ≡ f(f(x ′ ,f(x,y)),y)},{f(f(x,y),f(y,z))→ y})
Weder “Reduziere-Gleichung” noch “Löschen” sind anwendbar. Somit springt man in der
Strategie zu Schritt 2 zurück und orientiert die beiden Paare.
(∅,{f(f(x,y),f(y,z)) → y,f(y,f(f(y,z),z ′ )) → f(y,z),f(f(x ′ ,f(x,y)),y) → f(x,y)})
Nun wendet man “Generieren” an und reduziert dann die aus den kritischen Paaren entstandenen
Gleichungen mit “Reduziere-Gleichung”. Hierbei lassen sich alle Gleichungen zu
trivialen Gleichungen reduzieren, die dann mit “Löschen” eliminiert werden. In Schritt 6 ist
daher E = ∅ und damit wird das aus den drei obigen Regeln bestehende TES als Ergebnis
ausgegeben.
Die Transformationsregeln “Reduziere-Rechts” und “Reduziere-Links” sind Verbesserungen
gegenüber dem grundlegenden Vervollständigungsalgorithmus. “Reduziere-Rechts”
erlaubt es, jederzeit die rechten Seiten von Regeln weiter auszuwerten. Dies ist insbesondere
dann nützlich, wenn im Verlauf der Vervollständigung neue Regeln entstanden sind,
die die ursprünglichen Regeln vereinfachen können. Die Terminierung von R wird durch
diese Transformation nicht zerstört, denn nach Voraussetzung gilt s ≻ t und (aufgrund
der Monotonie und Stabilität von ≻) t ≻ v. Aus der Transitivität von ≻ folgt also s ≻ v,
d.h., die Terminierung des neuen TES lässt sich nach wie vor mit der Reduktionsordnung
≻ zeigen.
Im Unterschied hierzu kann das Reduzieren auf der linken Seite von Regeln die Terminierung
zerstören. Wenn die linke Seite s einer Regel s → t zu u reduziert werden kann, so
ist nicht sicher gestellt, ob u ≻ t gilt. Beispielsweise lässt sich durch wiederholte Reduktion
mit den übrigen Regeln die linke Seite der Regel
f(x,i(i(e))) → x (G6)
zu x reduzieren, vgl. Bsp. 6.2.1. Diese neue linke Seite ist aber nicht mehr größer als die
rechte Seite, d.h., es gilt x ⊁ x. Aus diesem Grund muss eine derartig reduzierte Regel
wieder zurück in die Menge der Gleichheiten verschoben werden, denn es muss erneut
überprüft werden, ob und ggf. wie man diese Regel orientieren kann.
Darüber hinaus ist die Reduktion von linken Regelseiten s nur mit solchen Regeln l → r
erlaubt, bei denen s keinen Teilterm von l matcht, d.h., l lässt sich mit der Regel s → t
nicht reduzieren. Der Grund für diese Einschränkung wird in Bsp. 6.2.12 deutlich werden.
Falls R = {f(x,x) → x,f(x,y) → x} ist, so kann man also mit der zweiten Regel die erste
Regel simplifizieren, denn umgekehrt wäre die erste Regel nicht zur Reduktion der linken
Seite der zweiten Regel verwendbar. Auf diese Weise wird die erste Regel zur Gleichung
x ≡ x reduziert, die anschließend mit der “Löschen”-Transformationsregel gelöscht werden
könnte. Hingegen darf man bei R = {f(x,y) → x,f(x,y) → y} diese Transformationsregel
nicht anwenden.