Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Definition 2.2.3 (Erfüllen einer Gleichung, Modell) Eine Interpretation I = (A,α,
β) erfüllt eine Gleichung t 1 ≡ t 2 , geschrieben “I |= t 1 ≡ t 2 ”, gdw. I(t 1 ) = I(t 2 ).
Eine Algebra A = (A,α) erfüllt t 1 ≡ t 2 (A |= t 1 ≡ t 2 ) gdw. I |= t 1 ≡ t 2 für alle
Interpretationen der Form I = (A,α,β). Für alle Variablenbelegungen β müssen also die
Deutungen von t 1 und t 2 identisch sein. Man sagt dann auch, eine Algebra ist ein Modell
einer Gleichung. Analog ist eine Algebra A ein Modell einer Gleichungsmenge E (A |= E)
gdw. A |= t 1 ≡ t 2 für alle Gleichungen t 1 ≡ t 2 in E.
Aus einer Gleichungsmenge E folgt die Gleichung t 1 ≡ t 2 (abgekürzt “E |= t 1 ≡ t 2 ”)
gdw. für alle Algebren A mit A |= E gilt A |= t 1 ≡ t 2 . (Das Zeichen “|=” steht also sowohl
für Erfüllbarkeit durch eine Algebra bzw. Interpretation als auch für Folgerbarkeit aus einer
Gleichungsmenge. Was jeweils gemeint ist, erkennt man daran, ob links des Zeichens “|=”
eine Algebra bzw. Interpretation oder eine Gleichungsmenge steht.) Anstelle von “∅ |=
t 1 ≡ t 2 ” schreibt man meist “|= t 1 ≡ t 2 ”. In diesem Fall heißt die Gleichung t 1 ≡ t 2
allgemeingültig (d.h., alle Algebren sind Modell dieser Gleichung).
Wir definieren die Relation ≡ E auf T (Σ,V)×T(Σ,V) als s ≡ E t gdw. E |= s ≡ t. Die
Relation ≡ E beschreibt also alle Gleichheiten, die aus der Menge E folgen.
Beispiel 2.2.4 Wir betrachten wieder die Interpretationen aus Bsp. 2.2.2. Sei A = (A,α)
(d.h., die Algebra, die der Interpretation I entspricht). Dann gilt:
I |= plus(x,y) ≡ succ(succ(...(succ(O))...))
} {{ }
8-mal “succ”
A ̸|= plus(x,y) ≡ succ(succ(...(succ(O))...))
} {{ }
8-mal “succ”
A |= plus(x,y) ≡ plus(y,x)
I ′′ ̸|= plus(x,y) ≡ plus(y,x)
{plus(x,y) ≡ plus(y,x)} |= plus(O,succ(O)) ≡ plus(succ(O),O)
Wenn E = {plus(x,y) ≡ plus(y,x)}, dann gilt also plus(O,succ(O)) ≡ E plus(succ(O),O).
Beispiel 2.2.5 Sei Σ definiert wie in Bsp. 2.1.7. Sei A = (Z,α) eine Σ-Algebra mit
α e = 0
α i (n) = −n
α f (n,m) = n+m
Dann gilt A |= {(2.1)−(2.4)} und A |= i(i(n)) = n.
Sei B = (B,α ′ ) eine Σ-Algebra mit
B = Menge der linearen Listen über beliebigem Alphabet
mit mindestens 2 Zeichen
α ′ e = [] (leere Liste)
α ′ i([a 1 ,...,a n ]) = [a n ,...,a 1 ] (Invertieren von Listen)
α ′ f ([a 1,...a n ],[b 1 ,...,b m ]) = [a 1 ,...,a n ,b 1 ,...,b m ] (Listenkonkatenation)
Dann gilt B |= {(2.1),(2.2)} und B |= i(i(n)) = n, aber B ̸|= (2.3) und B ̸|= (2.4).