Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Reduziere-Rechts
E,R∪{s → t}
E,R∪{s → v}
falls t → R v
Reduziere-Links
E,R∪{s → t}
E ∪{u ≡ t},R
falls s → R u mit Regel l → r gilt und
l kann nicht mit s → t reduziert werden
Wir schreiben (E,R) ⊢ C (E ′ ,R ′ ), falls (E,R) mit Hilfe einer dieser Transformationsregeln
in (E ′ ,R ′ ) überführt werden kann.
Die Transformationsregel“Generieren” erzeugt eine neue Gleichung aus einem kritischen
Paar von R. Alle kritischen Paare lassen sich also als Gleichungen darstellen, die wieder
zu neuen Regeln führen können (sofern die entsprechenden Terme nicht zusammenführbar
sind).
Die Transformationsregel “Orientieren” überführt eine Gleichung in eine Regel, wobei
sich die Orientierung aus der Reduktionsordnung ≻ ergibt. Dies entspricht dem Vorgehen
in dem grundlegenden Vervollständigungsalgorithmus, bei dem ebenfalls die ursprünglichen
Gleichungen (ebenso wie die aus kritischen Paaren entstehenden Gleichungen) auf diese
Weise in Regeln überführt wurden. Die Transformationsregel “Löschen” löscht triviale Gleichungen
aus E, die in einem zu E äquivalenten TES nicht notwendig sind. Mit der Transformationsregel
“Reduziere-Gleichung” können die Terme in Gleichungen vereinfacht werden,
indem sie wiederholt mit den Regeln aus R reduziert werden. Indem man diese Transformationsregel
stets mit oberster Priorität (ggf. nach der “Löschen”-Transformationsregel)
so lange wie möglich anwendet, kann man in allen Gleichungen s ≡ t aus E die Terme s
und t zu ihren Normalformen reduzieren.
Mit den ersten vier Transformationsregeln kann man den grundlegenden Vervollständigungsalgorithmus
aus dem vorigen Abschnitt nachbilden. Hierzu müssen diese Transformationsregeln
mit folgender Strategie angewendet werden:
1. Wende zunächst “Löschen” solange wie möglich an.
2. Wende dann “Orientieren” solange wie möglich an.
3. Falls danach E ≠ ∅ ist, dann breche mit Fehlschlag ab.
4. Wende “Generieren” solange an, bis alle kritischen Paare von R erzeugt sind.
5. Wende “Reduziere-Gleichung” solange wie möglich an.
6. Wende dann “Löschen” solange wie möglich an.
7. Wenn nun E = ∅ ist, dann breche ab und gib R aus.
8. Gehe zu Schritt 2.
Beispiel 6.2.3 Um die Arbeitsweise der Transformationsregeln zu illustrieren, betrachten
wir noch einmal die Vervollständigung aus Bsp. 6.1.3 mit Hilfe des grundlegenden
Vervollständigungsalgorithmus. Wenn man der obigen Strategie folgt, kann man diese Vervollständigung
genauso auch mit den Transformationsregeln aus Def. 6.2.2 durchführen.
Man beginnt mit
({f(f(x,y),f(y,z)) ≡ y},∅).
Da “Löschen” nicht anwendbar ist, wendet man nun “Orientieren” an.
(∅,{f(f(x,y),f(y,z))→ y})