Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...
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Reduziere-Rechts<br />
E,R∪{s → t}<br />
E,R∪{s → v}<br />
falls t → R v<br />
Reduziere-Links<br />
E,R∪{s → t}<br />
E ∪{u ≡ t},R<br />
falls s → R u mit Regel l → r gilt <strong>und</strong><br />
l kann nicht mit s → t reduziert werden<br />
Wir schreiben (E,R) ⊢ C (E ′ ,R ′ ), falls (E,R) mit Hilfe einer dieser Transformationsregeln<br />
in (E ′ ,R ′ ) überführt werden kann.<br />
Die Transformationsregel“Generieren” erzeugt eine neue Gleichung aus einem kritischen<br />
Paar von R. Alle kritischen Paare lassen sich also als Gleichungen darstellen, die wieder<br />
zu neuen Regeln führen können (sofern die entsprechenden Terme nicht zusammenführbar<br />
sind).<br />
Die Transformationsregel “Orientieren” überführt eine Gleichung in eine Regel, wobei<br />
sich die Orientierung aus der Reduktionsordnung ≻ ergibt. Dies entspricht dem Vorgehen<br />
in dem gr<strong>und</strong>legenden Vervollständigungsalgorithmus, bei dem ebenfalls die ursprünglichen<br />
Gleichungen (ebenso wie die aus kritischen Paaren entstehenden Gleichungen) auf diese<br />
Weise in Regeln überführt wurden. Die Transformationsregel “Löschen” löscht triviale Gleichungen<br />
aus E, die in einem zu E äquivalenten TES nicht notwendig sind. Mit der Transformationsregel<br />
“Reduziere-Gleichung” können die Terme in Gleichungen vereinfacht werden,<br />
indem sie wiederholt mit den Regeln aus R reduziert werden. Indem man diese Transformationsregel<br />
stets mit oberster Priorität (ggf. nach der “Löschen”-Transformationsregel)<br />
so lange wie möglich anwendet, kann man in allen Gleichungen s ≡ t aus E die Terme s<br />
<strong>und</strong> t zu ihren Normalformen reduzieren.<br />
Mit den ersten vier Transformationsregeln kann man den gr<strong>und</strong>legenden Vervollständigungsalgorithmus<br />
aus dem vorigen Abschnitt nachbilden. Hierzu müssen diese Transformationsregeln<br />
mit folgender Strategie angewendet werden:<br />
1. Wende zunächst “Löschen” solange wie möglich an.<br />
2. Wende dann “Orientieren” solange wie möglich an.<br />
3. Falls danach E ≠ ∅ ist, dann breche mit Fehlschlag ab.<br />
4. Wende “Generieren” solange an, bis alle kritischen Paare von R erzeugt sind.<br />
5. Wende “Reduziere-Gleichung” solange wie möglich an.<br />
6. Wende dann “Löschen” solange wie möglich an.<br />
7. Wenn nun E = ∅ ist, dann breche ab <strong>und</strong> gib R aus.<br />
8. Gehe zu Schritt 2.<br />
Beispiel 6.2.3 Um die Arbeitsweise der Transformationsregeln zu illustrieren, betrachten<br />
wir noch einmal die Vervollständigung aus Bsp. 6.1.3 mit Hilfe des gr<strong>und</strong>legenden<br />
Vervollständigungsalgorithmus. Wenn man der obigen Strategie folgt, kann man diese Vervollständigung<br />
genauso auch mit den Transformationsregeln aus Def. 6.2.2 durchführen.<br />
Man beginnt mit<br />
({f(f(x,y),f(y,z)) ≡ y},∅).<br />
Da “Löschen” nicht anwendbar ist, wendet man nun “Orientieren” an.<br />
(∅,{f(f(x,y),f(y,z))→ y})