Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...
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Unser Ziel ist nun, ein verbessertes Vervollständigungsverfahren zu entwickeln, bei dem<br />
ein solches Vereinfachen der Regeln untereinander (<strong>und</strong> ggf. das Löschen von Regeln)<br />
möglich ist. Das Vervollständigungsverfahren wird als eine Menge von Transformationsregeln<br />
angegeben, vgl. [Bac91]. Die Strategie, in welcher Reihenfolge oder mit welcher Priorität<br />
die Regeln anzuwenden sind, wird (fast) nicht festgelegt. Wir beschreiben auf diese<br />
Weise also eine ganzeMenge von Vervollständigungsalgorithmen, die sich in dieser Strategie<br />
unterscheiden. Ein weiterer Vorteil des verbesserten Vervollständigungsverfahrens ist also,<br />
dass man nicht auf das Vorgehen in BASIC COMPLETION festgelegt ist, sondern die Regeln<br />
in (nahezu) beliebiger Weise anwenden kann, so dass man oftmals wesentlich schneller ein<br />
konvergentes zu E äquivalentes TES findet.<br />
Die Transformationsregeln arbeiten auf Paaren (E,R), wobei E ein (endliches) Gleichungssystem<br />
<strong>und</strong> R ein (ebenfalls endliches) TES ist. Die Transformation beginnt mit<br />
R = ∅, wobei E das ursprüngliche Gleichungssystem ist, zu dem ein konvergentes äquivalentesTESgef<strong>und</strong>enwerdensoll.Wird(E,R)in(E<br />
′ ,R ′ )überführt,soistsichergestellt,dass<br />
sich die dadurch beschriebene Gleichheitsrelation nicht ändert, d.h., es gilt ↔ ∗ E∪R =↔∗ E ′ ∪R ′.<br />
Das Ziel der Transformation ist daher, das ursprüngliche Paar (E,R) mit R = ∅ in mehreren<br />
Schritten zu einem Paar (E ′ ,R ′ ) zu transformieren, bei dem E ′ = ∅ ist. In diesem Fall<br />
gilt nämlich ↔ ∗ E =↔∗ E∪R =↔∗ E ′ ∪R ′=↔∗ R ′, d.h., R′ ist ein zu E äquivalentes TES.<br />
Genauer enthält die Gleichungsmenge E in einem Paar (E,R) im Verlauf der Transformation<br />
immer diejenigen Gleichungen, die noch nicht in Regeln überführt wurden <strong>und</strong> R<br />
ist ein terminierendes TES. Die Terminierung des TES wird wie im gr<strong>und</strong>legenden Vervollständigungsalgorithmus<br />
durch eine Reduktionsrelation ≻ sicher gestellt. R darf dann<br />
nur Regeln l → r enthalten, für die l ≻ r gilt.<br />
Definition 6.2.2 (Transformationsregeln für Vervollständigung) Sei E ein Gleichungssystem,<br />
R ein TES <strong>und</strong> ≻ eine Reduktionsordnung. Dann definieren wir die folgenden<br />
sechs Transformationsregeln auf Paaren (E,R).<br />
Generieren<br />
Orientieren<br />
Löschen<br />
E,R<br />
E ∪{s ≡ t},R<br />
E ∪{s ≡ t},R<br />
E,R∪{s → t}<br />
E ∪{s ≡ t},R<br />
E,R∪{t → s}<br />
E ∪{s ≡ s},R<br />
E,R<br />
falls 〈s,t〉 ∈ CP(R)<br />
falls s ≻ t<br />
falls t ≻ s<br />
Reduziere-Gleichung<br />
E ∪{s ≡ t},R<br />
E ∪{u ≡ t},R falls s → R u<br />
E ∪{s ≡ t},R<br />
E ∪{s ≡ v},R falls t → R v
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