Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Durch Überlagerung der zweiten Regel mit sich selbst erhält man
Man erhält daher
f(g 2 (f(g 2 (f(x)))))
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g 2 (f(g 2 (f(x))))
f(g 4 (f(x)))
g 4 (f(x))
R 1 = {f(g(f(x))) → g(f(x)),
f(g 2 (f(x))) → g 2 (f(x)),
f(g 3 (f(x))) → g 3 (f(x)),
f(g 4 (f(x))) → g 4 (f(x))}
Dieses Vorgehen wird nun analog dazu unendlich oft wiederholt, so dass insgesamt eine
unendliche Menge von Regeln
R ∞ = {f(g n (f(x))) → g n (f(x))|n ≥ 1}
entsteht. In diesem Fall terminiert der Algorithmus BASIC COMPLETION daher nicht.
Obwohl der Vervollständigungsalgorithmus im letzten Beispiel also nicht terminiert,
so ist das entstehende unendliche TES R ∞ dennoch konvergent und äquivalent zu E. In
solchen Fällen kann man mit dem Vervollständigungsverfahren zwar kein Entscheidungsverfahren,
aber ein Semi-Entscheidungsverfahren für das Wortproblem erhalten. Um s ≡ E t
zu untersuchen, betrachtet man zunächst das TES R 0 . Man untersucht nun, ob s und t
in R 0 zusammenführbar sind (dies ist entscheidbar, da R 0 terminiert). In diesem Fall ist
s ≡ E t bewiesen. Ansonsten berechnet man die nächste Iteration R 1 und wiederholt das
Vorgehen, etc. Es ist sicher gestellt, dass es zu jeder Gleichung mit s ≡ E t eine Iteration
R n gibt, so dass s und t in R n (und in jedem R m mit m ≥ n) zusammenführbar sind.
Insofern kann jede wahre Gleichung auf diese Art bewiesen werden und man hat damit ein
Semi-Entscheidungsverfahren. Der folgende Satz zeigt die Korrektheit des Vervollständigungsalgorithmus.
Satz 6.1.6 (Korrektheit von BASIC COMPLETION) Sei E ein (endliches) Gleichungssystem
und ≻ eine Reduktionsordnung.
(a) Falls BASIC COMPLETION(E,≻) terminiert und ein TES R n als Resultat liefert,
dann ist R n ein (endliches) konvergentes TES, das äquivalent zu E ist. In diesem Fall
lässt sich aus R n mit dem Algorithmus WORTPROBLEM ein Entscheidungsverfahren
für das Wortproblem über E erhalten.
(b) Falls BASIC COMPLETION(E,≻) nicht terminiert, dann ist R ∞ = ⋃ i≥0 R i ein unendliches
konvergentes TES, das äquivalent zu E ist. In diesem Fall kann man den
Vervollständigungsalgorithmus als Semi-Entscheidungsverfahren für das Wortproblem
über E verwenden.