Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...
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Durch Überlagerung der zweiten Regel mit sich selbst erhält man<br />
Man erhält daher<br />
f(g 2 (f(g 2 (f(x)))))<br />
❦❦❦❦❦❦❦❦❦❦❦❦❦❦ ◗◗◗◗◗◗◗◗◗◗◗◗◗<br />
g 2 (f(g 2 (f(x))))<br />
f(g 4 (f(x)))<br />
g 4 (f(x))<br />
R 1 = {f(g(f(x))) → g(f(x)),<br />
f(g 2 (f(x))) → g 2 (f(x)),<br />
f(g 3 (f(x))) → g 3 (f(x)),<br />
f(g 4 (f(x))) → g 4 (f(x))}<br />
Dieses Vorgehen wird nun analog dazu unendlich oft wiederholt, so dass insgesamt eine<br />
unendliche Menge von Regeln<br />
R ∞ = {f(g n (f(x))) → g n (f(x))|n ≥ 1}<br />
entsteht. In diesem Fall terminiert der Algorithmus BASIC COMPLETION daher nicht.<br />
Obwohl der Vervollständigungsalgorithmus im letzten Beispiel also nicht terminiert,<br />
so ist das entstehende unendliche TES R ∞ dennoch konvergent <strong>und</strong> äquivalent zu E. In<br />
solchen Fällen kann man mit dem Vervollständigungsverfahren zwar kein Entscheidungsverfahren,<br />
aber ein Semi-Entscheidungsverfahren für das Wortproblem erhalten. Um s ≡ E t<br />
zu untersuchen, betrachtet man zunächst das TES R 0 . Man untersucht nun, ob s <strong>und</strong> t<br />
in R 0 zusammenführbar sind (dies ist entscheidbar, da R 0 terminiert). In diesem Fall ist<br />
s ≡ E t bewiesen. Ansonsten berechnet man die nächste Iteration R 1 <strong>und</strong> wiederholt das<br />
Vorgehen, etc. Es ist sicher gestellt, dass es zu jeder Gleichung mit s ≡ E t eine Iteration<br />
R n gibt, so dass s <strong>und</strong> t in R n (<strong>und</strong> in jedem R m mit m ≥ n) zusammenführbar sind.<br />
Insofern kann jede wahre Gleichung auf diese Art bewiesen werden <strong>und</strong> man hat damit ein<br />
Semi-Entscheidungsverfahren. Der folgende Satz zeigt die Korrektheit des Vervollständigungsalgorithmus.<br />
Satz 6.1.6 (Korrektheit von BASIC COMPLETION) Sei E ein (endliches) Gleichungssystem<br />
<strong>und</strong> ≻ eine Reduktionsordnung.<br />
(a) Falls BASIC COMPLETION(E,≻) terminiert <strong>und</strong> ein TES R n als Resultat liefert,<br />
dann ist R n ein (endliches) konvergentes TES, das äquivalent zu E ist. In diesem Fall<br />
lässt sich aus R n mit dem Algorithmus WORTPROBLEM ein Entscheidungsverfahren<br />
für das Wortproblem über E erhalten.<br />
(b) Falls BASIC COMPLETION(E,≻) nicht terminiert, dann ist R ∞ = ⋃ i≥0 R i ein unendliches<br />
konvergentes TES, das äquivalent zu E ist. In diesem Fall kann man den<br />
Vervollständigungsalgorithmus als Semi-Entscheidungsverfahren für das Wortproblem<br />
über E verwenden.