Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

zw. dem kritischen Paar 〈f(y,z),f(y,f(f(y,z),z ′ ))〉. Die beiden Terme des kritischen Paars
sind bereits Normalformen und bei jeder Simplifikationsordnung ≻ gilt f(y,f(f(y,z),z ′ )) ≻
f(y,z). Somit wird R 1 um die Regel f(y,f(f(y,z),z ′ )) → f(y,z) ergänzt.
Die Überlappung an der Stelle 2 verwendet den mgu {y ′ /f(x,y),z ′ /f(y,z)}. Dies entspricht
der kritischen Situation
f(x,y)
f(f(x ′ ,f(x,y)),f(f(x,y),f(y,z)))
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f(f(x ′ ,f(x,y)),y)
bzw. dem kritischen Paar 〈f(x,y),f(f(x ′ ,f(x,y)),y)〉.Die beiden Terme des kritischen Paars
sind wieder Normalformen und bei jeder Simplifikationsordnung ≻ gilt f(f(x ′ ,f(x,y)),y) ≻
f(x,y). Somit wird R 1 auch um die Regel f(f(x ′ ,f(x,y)),y) → f(x,y) ergänzt. So erhält
man
R 1 = {f(f(x,y),f(y,z)) → y,
f(y,f(f(y,z),z ′ )) → f(y,z),
f(f(x ′ ,f(x,y)),y) → f(x,y)}.
IndernächstenIterationstelltsichheraus,dassallekritischenPaarevonR 1 zusammenführbar
sind. Daher ergibt sich R 2 = R 1 und dieses TES wird als Ergebnis des Algorithmus
ausgegeben. In der Tat ist es konvergent und äquivalent zu E.
Beispiel 6.1.4 Wir betrachten ein Gleichungssystem, das ausdrückt, dass eine Funktion f
links- und rechtsdistributiv über einer anderen Funktion g ist.
E = {f(x,g(y,z)) ≡ g(f(x,y),f(x,z)),f(g(x,y),z) ≡ g(f(x,z),f(y,z))}.
Wir rufen wiederum BASIC COMPLETION mit E und einer (geeignet zu bestimmenden)
RPOS ≻ auf. Beispielsweise kann man die Gleichungen von links nach rechts orientieren,
wenn man eine Präzedenz mit f ❂ g wählt. So ergibt sich
R 0 = {f(x,g(y,z)) → g(f(x,y),f(x,z)),
f(g(x,y),z) → g(f(x,z),f(y,z))}.
Zur Bestimmung von R 1 wird das einzige kritische Paar von R 0 betrachtet, das sich durch
Überlappung der beidenRegelnander äußerstenPosition ergibt.So erhältmandiefolgende
kritische Situation:
f(g(x,y),g(y ′ ,z ′ ))
❢❢❢❢❢❢❢❢❢❢❢❢❢❢❢ ❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳
g(f(g(x,y),y ′ ),f(g(x,y),z ′ ))
g(f(x,g(y ′ ,z ′ )),f(y,g(y ′ ,z ′ )))
∗
g(g(f(x,y ′ ),f(y,y ′ )),g(f(x,z ′ ),f(y,z ′ ))) g(g(f(x,y ′ ),f(x,z ′ )),g(f(y,y ′ ),f(y,z ′ )))
Im obigen Bild sind bereits die Normalformen der beiden Terme in dem entsprechenden
kritischen Paar angegeben.
∗