Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...
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zw. dem kritischen Paar 〈f(y,z),f(y,f(f(y,z),z ′ ))〉. Die beiden Terme des kritischen Paars<br />
sind bereits Normalformen <strong>und</strong> bei jeder Simplifikationsordnung ≻ gilt f(y,f(f(y,z),z ′ )) ≻<br />
f(y,z). Somit wird R 1 um die Regel f(y,f(f(y,z),z ′ )) → f(y,z) ergänzt.<br />
Die Überlappung an der Stelle 2 verwendet den mgu {y ′ /f(x,y),z ′ /f(y,z)}. Dies entspricht<br />
der kritischen Situation<br />
f(x,y)<br />
f(f(x ′ ,f(x,y)),f(f(x,y),f(y,z)))<br />
❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥ ❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱<br />
f(f(x ′ ,f(x,y)),y)<br />
bzw. dem kritischen Paar 〈f(x,y),f(f(x ′ ,f(x,y)),y)〉.Die beiden Terme des kritischen Paars<br />
sind wieder Normalformen <strong>und</strong> bei jeder Simplifikationsordnung ≻ gilt f(f(x ′ ,f(x,y)),y) ≻<br />
f(x,y). Somit wird R 1 auch um die Regel f(f(x ′ ,f(x,y)),y) → f(x,y) ergänzt. So erhält<br />
man<br />
R 1 = {f(f(x,y),f(y,z)) → y,<br />
f(y,f(f(y,z),z ′ )) → f(y,z),<br />
f(f(x ′ ,f(x,y)),y) → f(x,y)}.<br />
IndernächstenIterationstelltsichheraus,dassallekritischenPaarevonR 1 zusammenführbar<br />
sind. Daher ergibt sich R 2 = R 1 <strong>und</strong> dieses TES wird als Ergebnis des Algorithmus<br />
ausgegeben. In der Tat ist es konvergent <strong>und</strong> äquivalent zu E.<br />
Beispiel 6.1.4 Wir betrachten ein Gleichungssystem, das ausdrückt, dass eine Funktion f<br />
links- <strong>und</strong> rechtsdistributiv über einer anderen Funktion g ist.<br />
E = {f(x,g(y,z)) ≡ g(f(x,y),f(x,z)),f(g(x,y),z) ≡ g(f(x,z),f(y,z))}.<br />
Wir rufen wiederum BASIC COMPLETION mit E <strong>und</strong> einer (geeignet zu bestimmenden)<br />
RPOS ≻ auf. Beispielsweise kann man die Gleichungen von links nach rechts orientieren,<br />
wenn man eine Präzedenz mit f ❂ g wählt. So ergibt sich<br />
R 0 = {f(x,g(y,z)) → g(f(x,y),f(x,z)),<br />
f(g(x,y),z) → g(f(x,z),f(y,z))}.<br />
Zur Bestimmung von R 1 wird das einzige kritische Paar von R 0 betrachtet, das sich durch<br />
Überlappung der beidenRegelnander äußerstenPosition ergibt.So erhältmandiefolgende<br />
kritische Situation:<br />
f(g(x,y),g(y ′ ,z ′ ))<br />
❢❢❢❢❢❢❢❢❢❢❢❢❢❢❢ ❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳<br />
g(f(g(x,y),y ′ ),f(g(x,y),z ′ ))<br />
g(f(x,g(y ′ ,z ′ )),f(y,g(y ′ ,z ′ )))<br />
∗<br />
<br />
<br />
g(g(f(x,y ′ ),f(y,y ′ )),g(f(x,z ′ ),f(y,z ′ ))) g(g(f(x,y ′ ),f(x,z ′ )),g(f(y,y ′ ),f(y,z ′ )))<br />
Im obigen Bild sind bereits die Normalformen der beiden Terme in dem entsprechenden<br />
kritischen Paar angegeben.<br />
∗